Можно показать, что при и вероятность удовлетворяет предельному равенству

Пример 2. Пусть еженедельно проводится серия из 10 испытаний, имеющих положительный (1) или отрицательный исход (0). Известно, что P1=0,20. Требуется определить число недель в году в которых будет наблюдаться «k» положительных исходов (всего в году 50 недель). (k = 3; 4 или 5).

N×p – q £ k0 £ N×p +p.

Число k0 наступления события «А» в «N» независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pk0, N по крайней мере не меньше вероятностей других событий Pk, N при любом k.

Для нахождения k ₀ можно использовать двойное неравенство

Для нашего примера 5×0,2 – 0,8£ k ₀ £ 5×0,2 + 0,2 или 0,2£ k ₀ £ 1,2. Единственное целое, удовлетворяющее полученному неравенству k ₀ =1, а его вероятность Р _1,5=0,4096.

Решение. Воспользуемся стандартной статистической функцией EXCEL

=БИНОМРАСП(число успехов k; серия испытаний N;

P (x=N) вероятность успеха в N опытах;

ключ: Истина (1) –интегральное распределение,

Ложь (0) –плотность распределения)

Расчет примера:

	=50*БИНОМРАСП(k; 10; 0,2; 0)
k =3	=50*0,2013=10,07
k =4	=50*0,0881=4,4
k =5	=50*0,0264=1,3

Второй вариант решения предполагает использование надстройки –

Пакет анализа (при генерируется последовательность, имитирующая число положительных исходов в неделю)

Пакет анализа → Генерация случайных чисел → Биномиальное (распределение)

(Установка: Файл ® Параметры ® Настройки ® Список: управление ® Настройки Excel ® Кнопка: перейти ® Флажок: пакет анализа, поиск решения)

Число переменных	1→кол-во столбцов
Число случайных чисел
Распределение	Биномиальное
Значение Р	0,2
Число испытаний

Подсчёт значения «k», например k= 4:

= СЧЕТЕСЛИ(<Диапазон обрабатываемых чисел>; “=4”).

Разложение по карманам

Карманы – последовательность чисел (например, 1,2, …,10), предназначенных для построения гистограммы или полигона распределения вероятностей случайной величины и определенных в отдельном столбце или отдельной строке.

Стандартная функция® =ЧАСТОТА(<Диапазон чисел>;<Диапазон карманов>)

Инициализация функции® Shift+Ctrl+Enter.

Пакет Анализа → Гистограмма

Закон распределения Пуассона (дискретное)

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность появления события «А» при большом числе испытаний «N», например Р _300,500. По формуле Бернулли получаем

.

Ясно, что в этом случае вычисление по формуле Бернулли технически осложнено. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые зависимости вычисления при больших «N». Такие формулы называются асимптотическими.

.

Формула Пуассона применяется при Npq < 10 и p < 0,1

, .

Закон Пуассона часто называют законом редких событий. Ему подчиняются, например, следующие редкие явления:

· число рождения четверней;

· число отказов ракетной техники;

· число сбоев на автоматической линии серийного производства.

Пусть λ = a× l – среднее число точек попавшее в интервал l; a – плотность вдоль l. Тогда, согласно распределению Пуассона, вероятность (P) попадания одновременно «k» точек в отрезок длиной «l», вычисляется по формуле

.

Другими словами, если известно λ (среднее количество точек на интервал событий), то можно рассчитать вероятность одновременного появления одной, двух, трёх и более точек.

Свойства распределения Пуассона:

· .

· Вероятность не попадания в отрезок ни одной точки .

· Вероятность попадания хотя бы одной точки .

· При , – распределение Пуассона стремится к нормальному.

Примеры распределения Пуассона

Пример 3. Ожидается получать, в среднем, 10-ть бракованных деталей в день (λ = 10) при массовом производстве. Спрашивается, как часто ожидается получение 18-ти бракованных деталей в течение года (k = 18)? В году 260 рабочих дней.

Решение. ; =0.0071; K₁₈=P₁₈×260=1.84»2.

Можно также воспользоваться стандартной функцией Excel:

=ПУАССОН (x – случайная величина; λ – среднее;

ключ: Истина (1) – интегральное распределение,

Ложь (0) – плотность распределения).

Тогда

Дата добавления: 2013-12-13