Упругие волны. Скорость и энергия упругой волны

Лекция 3.2.

Скорость упругой волны.

Рассмотренные нами волны в цепочке очень хорошо представляют сущность волновых процессов во всевозможных телах (стержнях, струнах и т.д.) или в сплошных средах (твердых, жидких и газообразных). В твердых телах возможны как продольные, так и поперечные волны. В жидких и газообразных, не имеющих упругости формы (модуль сдвига равен нулю) поперечные волны невозможны, возможны только продольные. При распространение волны в такой среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц, перемещающиеся в направлении распространения волны.

Найдем скорость волны в тонком стержне. Под тонким имеется в виду стержень, толщина которого мала по сравнению с длиной волны λ. При малых продольных деформациях стержня спра­ведлив закон Гука:

(3.2.1)

где σ=— напряжение (Н/м²), Ε — модуль Юнга (Па), ε = дξ/дх – относительная деформация. Заметим, что σ, как и ε, величина алгебраическая, и знаки σ и ε всегда одинаковы: при растяжении — положительные, при сжатии — отрицательные.

Рассмотрим малый элемент стержня Δ x «λ в момент, Рис.3.2.1.

когда при прохождении волны (длина волны )

он оказался, например, в растянутом состоянии (рис.3.2.1). Применим к этому элементу 2-й закон Ньютона:

где ρ — плотность материала стержня, S — площадь его попе­речного сечения. В данный момент, как видно из рисунка, F_x (x + ∆ х) > 0, a F_x (x) < 0. Соответствующие же значения σ в сечениях x и x + Δ x положительные (растяжение). Поэтому правую часть уравнения можно переписать так:

где учтено, что слева F_x и σ имеют разные знаки (это будет и при сжатии). Тогда уравнение движения после сокращения на Δ x · S примет вид . Остается учесть (3.2.1), после чего получим окончательно:

(3.2.2)

Мы пришли, таким образом, к волновому уравнению. Это по­зволяет утверждать, что в стержне будет распространяться про­дольная волна, скорость которой легко определить, сопоста­вив полученное выражение с (3.1.10):

(3.2.3)

Заметим, что для не тонкого стержня выражение для V име­ет более сложный вид и значение V оказывается больше, чем в случае тонкого стержня.

Можно показать, что скорость упругих поперечных волн в неограниченной изотропной твердой среде

(3.2.4)

где G — модуль сдвига среды, ρ — ее плотность.

Скорость звука в жидкостях и газах.

Формулу (3.2.3) можно использовать для вычисления скорости продольных волн в жид­костях и газах, в частности, звуковых волн, которые являются упругими волнами определенного частотного диапазона (20 ÷ 20000 Гц). Действительно, вырезав мысленно канал в на­правлении распространения плоской волны, мы можем повто­рить все рассуждения, приведшие нас к этой формуле. Остается только выяснить, какая величинав этом случае играет роль модуля Юнга Е.

При продольных волнах в среде возникают сжатия и разрежения отдельных слоев, и закон Гука (3.2.1) в данном случае — связь избыточного давления Δ р сотносительным изменением длины элемента Δ х цилиндрического канала Δ ξ/ Δ x — примет вид Δ p = - Ε Δ ξ/ Δ x, где знак минус связан с тем, что приращения давления Δ p и длины Δ ξ противоположны по знаку. Умножив числитель и знаменатель на площадь поперечного сечения ка­нала, получим

(3.2.5)

где Δ V/V — относительное приращение объема рассматривае­мого элемента. Перейдя к пределу, получим

(3.2.6)

Объем V элемента Δ x и его плотность меняются при прохожде­нии волны, но их произведение, т. е. масса т= ρV = const. Отсюда d ρ / ρ = -dV/V, значит

(3.2.7)

После подстановки этого выражения в (3.2.6) получим Ε = , и скорость волны — формула (3.2.3) — примет вид

(3.2.8)

Это выражение справедливо для волн в жидкостях и газах.

Опыт показывает, что при распространении звука в газе связь между давлением и объемом определяется уравнением

(3.2.9)

где γ — так называемая постоянная адиабаты, равная отноше­нию теплоемкостей газа при постоянных давлении и объеме, γ = C_P/C_V — величина, характерная для каждого газа. Запишем дифференциал натурального логарифма выражения (3.2.9):

откуда dp/dV = - γp/V, и формула (3.2.3) принимает вид

(3.2.10)

Таким образом, скорость звуковой волны в газе

(3.2.11)

Это выражение можно преобразовать к более удобному для рас­четов виду, если учесть уравнение состояния идеального газа pV = (m/M)RT, где, напомним, m — масса газа, Μ — его мо­лярная масса. Из уравнения состояния определим плотность как ρ = m/V = pM/RT, и уравнение (3.2.11) станет таким:

(3.2.12)

где R — универсальная газовая постоянная.

Энергия волны. Плотность потока энергии. Интенсивность волны.

Прежде всего, найдем вы­ражение для плотности упругой (потенциальной) энергии рас­тянутого (или сжатого) стержня. Приложим к торцу стержня, другой конец которого закреплен, растягивающую силу F(x) и будем медленно увеличивать ее от 0 до значения F₀. Удлинение стержня при этом будет меняться от 0 до x. По закону Гука F(x) = κх, где κ — коэффициент упругости. Работа силы F(x) в этом процессе

Эта работа идет на увеличение упругой энергии U стержня, значит

(3.2.13)

Плотность же упругой энергии w_n = U/Sl, где S и l — пло­щадь поперечного сечения и длина стержня. Преобразуем вы­ражение (3.2.13), учитывая, что k = F = σS, σ = Εε и ε = . Тогда

Отсюда видно, что плотность упругой энергии

(3.2.14)

При прохождении продольной волны в стержне каждая еди­ница объема его обладает как потенциальной энергией упругой деформации w_π,так и кинетической энергией w_{k= .}Плотность полной энергии

. (3.2.15)

Для тонкого стержня Ε = ρ V ², согласно (3.2.3), и выражение (3.2.15) можно переписать так:

(3.2.16)

Можно показать, что оба слагаемых равны друг другу, т. е. плотности кинетической и упругой энергии оди­наковы и изменяются синфазно. Поэтому мы имеем в результате

(3.2.17)

В частности, для гармонической волны =cοs(ωt - kx)

(3.2.18)

Соответствующее распределение w (x) вдоль стержня в некото­рый момент показано на рис.3.2.2.

Среднее значение плотности энергии за период (или за время значительно большее периода колебаний) равно Рис.3.2.2.

(3.2.19)

поскольку среднее значение квадрата синуса равно ½.

Полученные формулы справедливы и для упругих волн в жидкостях и газах.

Плотность потока энергии.

Так как энергия перемещается в среде вместе с возмущением, вводят понятие потока энергии Ф. Это количество энергии, переносимое волной через определен­ную поверхность S в единицу времени:

(3.2.20)

где dW — энергия, переносимая через данную поверхность за время dt.

Поток энергии в разных точках поверхности S может иметь различную интенсивность. Для характеристики этого обстоя­тельства вводят понятие плотности потока энергии. Это по­ток энергии через единичную площадку, перпендикулярную к направлению переноса энергии:

(3.2.21)

где dФ = dW/dt, a dW — это энергия, заключенная внутри косого цилиндра с основанием площадью dS и образующей длиной Vdt, где V — ско­рость переноса энергии (или скорость волны). Размеры этого цилиндра должны быть настолько малы, чтобы во всех его точ­ках плотность энергии w была бы оди­наковой. Тогда dW = wd V, d V— объем данного цилиндра, и мы можем записать: Рис.3.2.3.

С учетом этого соотношения выражение (3.2.21) примет вид:

(3.2.22)

Для определения плотности потока и его направления вводят вектор Умова- Пойнтинга :

(3.2.23)

где — вектор скорости, нормальный к волновой поверхности в данном месте. Для гармонической волны = (ω/k).

В случае монохроматической волны вектор , как и плот­ность энергии, изменяется со временем по закону квадрата си­нуса (3.2.18). Поэтому среднее по времени значение модуля вектора Умо­ва - Пойнтинга с учетом (3.2.19) можно записать как

(3.2.24)

Это выражение справедливо для волн любого вида — плоской, сферической, цилиндрической, затухающих и др.

Среднее по времени значении модуля плотности потока энергии на­зывают интенсивностью волны: I =< j >.

Зная вектор Умова - Пойнтинга во всех точках интересующей нас поверх­ности S, можно найти поток энергии сквозь эту поверхность. Для этого разобьем мысленно поверхность S на элементарные участки dS. Поток энергии через этот участок, согласно (3.2.21), есть

где j_n — проекция вектора на нормаль к элементу поверхности dS. Тогда полный поток энергии сквозь поверхность S

(3.2.25)

здесь . Выражение (3.2.25) означает, что поток энергии равен потоку вектора сквозь эту поверхность S.

Стоячие волны.

. При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Это называют принципом суперпозиции (наложения) волн.

Рассмотрим практически важный случай, когда две гармо­нические волны с одинаковыми частотой ω и амплитудой рас­пространяются в противоположных направлениях оси х:

Чтобы не усложнять формулы, начала отсчета времени и коор­динаты выбраны так, чтобы начальные фазы для обеих волн были рав­ны нулю.

Суперпозиция этих волн дает:

где A=. (3.2.26)

Это и есть уравнение стоячей волны. Видно, что ее частота та же, т.е. ω, а амплитуда равна (Acoskx) и, в отличие от бегущей гар­монической волны, зависит от x. В точках, где |cos kx | = l, мы имеем максимумы — пучности, а где cos kx = 0 —

минимумы — узлы. Период |cos kx | равен π, поэтому kΔx = π и Δх = π /k = λ/2. Т. е. интервалы между соседними пучностями или узлами равны Рис.3.2.4.

половине длины волны (см. рисунок 3.2.4,где показаны крайние смещения ξ через половину периода).

Между двумя соседними узлами все точки среды колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на π, т. е. колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе. Узлы смещения как бы разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются независимо. Никакой передачи движения из одной области к другой, а значит и перетекания энергии через узлы не происходит. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси х. Именно поэтому возмущения, описываемые формулой (3.2.26), и называют стоячей волной.

Энергия стоячей волны.

Переходя к распределению энергии в стоячей волне, определим сначала с помощью (3.2.26) выраже­ние для скорости частиц среды и ее относительной деформа­ции ε = dξ/dx:

(3.2.27)

Видно, что обе величины, и ε, тоже стоячие волны, причем они сдвинуты относительно друг друга по фазе на π/2 — как в пространстве, так и во времени. Кроме того, узлы и пучности скорости частиц среды совпадают с узлами и пучностями их смещения ξ. Узлы же и пучности деформации ε совпадают со­ответственно с пучностями и узлами смещения. Это показано на рисунке для моментов t = 0 и t = Т/4, здесь узлы смещения отмечены жирными точками. В момент t = 0, когда ξ и ε ста­новятся максимальными, скорость обращается Рис.3.2.5.

в нуль, и наоборот (t = T/4).

Соответственно происходят превращения энергии стоячей вол­ны: то полностью в потенциальную (упругую), то полностью в ки­нетическую (аналогичное происходит при колебаниях маятника). На рис. 3.2.6 показано распределение плотности энергии в моменты t = 0 и t = T/4. В процессе колебаний происходит перетекание энергии от каждого узла к соседним с ним Рис.3.2.6.

пучностям и обратно. Средний же по времени поток

энергии в любом сечении стоячей волны равен нулю.

Дата добавления: 2013-12-13