Фрактальная размерность

Введение во фракталы

Основы теории фракталов

Методы определения фрактальных характеристик объектов

Чтобы понять природу, человек строит объекты различной геометрии. В природе объекты встречаются самых разных размеров - от атомных масштабов до Вселенной. Геометрия траекторий частиц, линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий, ландшафтов, гор, ост­ровов, рек, ледников и отложений, зерен в скалистых породах, металлах и ком­позитных материалах, растений, насекомых и живых клеток, а также геометри­ческая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в частности, про­теинов - словом, геометрия природы занимает центральное место в различных областях естествознания, и поэтому люди склонны считать геометрические ас­пекты чем-то само собой разумеющимся. Представители каждой области стре­мились развить свои приспособленные к ее потребностям понятия (например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура), интуитивно используемые учеными, работающими именно в этой области. По традиции, основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, сферы, тетраэдры и т.п.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки традиционной геометрии, однако, в прошлом эти понятия не привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за предостережений относи­тельно «опасности», связанной с использованием такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Мандельброт про­будил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному са­мим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных им фракталами, избрав для этого весьма необычную форму изложения. Книга Бе­нуа Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» [1] - общепризнанный стандартный справочник по фракталам, содержащий как элементарные поня­тия, так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей, находящихся сейчас в центре внимания тех, кто занимается геометрией фракта­лов. Синтетические фрактальные пейзажи выглядят настолько правдоподобно, что большинство людей принимают их за естественные. Появление в последние годы компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетради­ционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой деятельно­сти. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных математических объектов и многого другого. Мандельброт написал три книги о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные работы и вдохновившие многих на приме­нение фрактальной геометрии в области собственных исследований.

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во мно­гих областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых раз­ных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта заме­чательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек, легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность, экономику, частоты появления слов в различных текстах и многое-многое другое. Все эти, казалось бы, разно­родные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими представ­лениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по мере расширения работ в области фрактальной геометрии, его идеи позволят все более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь пробное опре­деление понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того, впоследствии он отказывается от своего определения. В своих книгах Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия важна для описания приро­ды, но ускользает от читателя, когда тот пытается проследить за деталями ар­гументации автора. Математические доказательства перемешиваются на стра­ницах книг Мандельброта с анекдотами и историческими сведениями. Совер­шенно разные вопросы перемешаны в его книгах так, что разделить их практи­чески невозможно. Но, вооружившись терпением, любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них подлинное вдохновение -эти книги поистине замечательны!

Наиболее сильное впечатление производят цветные иллюстрации. На них изображены фрактальная «планета», восходящая над горизонтом своей луны, горы, долины и острова, которых никогда не было. Эти иллюстрации, выпол­ненные Р.Ф. Фоссом, получены с помощью алгоритмов, обеспечивающих фрак­тальную природу пейзажей. Все пейзажи выглядят очень естественно, по-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности.

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия», появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимал­ся. В его работах использованы научные результаты трудов ученых, работав­ших в 1875-1925 годах в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф и другие). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.

Внимание, которое привлекают фракталы, видимо, имеет несколько при­чин. Во-первых, фракталы очень просты при моделировании многих явлений и процессов, которые трудно отличить от естественных. Во-вторых, при фрак­тальном анализе процессы сложной формы представляются в достаточно про­стой и наглядной форме, что позволяет получить больше информации о про­цессе.

В настоящее время, наибольшее применение фракталы нашли в машинной графике и компьютерных системах сжатия информации. Они приходят на по­мощь, например, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графи­ки, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природ­ные.

Фракталом, по определению Мандельброта, называется объект, размер­ность которого не равна его топологической размерности и может принимать нецелочисленные значения. Такая размерность называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или фрактальной размерностью. Многочисленные исследо­вания показывают, что фрактальная геометрия является обобщением евклидо­вой, имеющей дело с целочисленными топологическими размерностями (О - точка, 1 - линия, 2 - плоскость, 3 - объем). К фрактальным объектам отно­сятся все природные объекты, например, такие как береговая линия, имеющая размерность 1,52 (береговая линия Норвегии), облака - 2,31, кровеносная сис­тема человека - 2,7 и т.п. На данный момент обоснованной физической интер­претации дробной размерности нет, хотя предпринимаются попытки ее создать.

Основным свойством фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем объекте, т.е. вид фракталов практически не меняется при любом увеличении. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структу­ра, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Процес­сы, порождающие самоподобные структуры, известны довольно давно. Это процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция повторяется сно­ва и снова, при этом результат одной итерации является начальным значением следующей. Но здесь очень важно, чтобы зависимость между результатом и на­чальным значением была нелинейной. Одним из исследователей фракталов был Гастон Жюлиа, который открыл множество Жюлиа, представляющее собой границу, в различных частях которой встречается одна и та же форма разных масштабов. Он установил, что можно восстановить всю границу по любой ее части. С тех пор в математике и в физике стали широко изучаться самоподоб­ные структуры, в том числе и фракталы.

Все многообразие фракталов делится на геометрические, алгебраические и стохастические.

Геометрические фракталы самые наглядные. В случае, если геометриче­ские фракталы двухмерные их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности, если фракталы трехмерные), называемой затравкой или первона­чальным генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляю­щих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометриче­ский фрактал. На рисунках 1.1-1.6 представлены наиболее известные геомет­рические фракталы и их первоначальные генераторы.

Рис. 1.2. Кривая Коха (а) и ее первоначальный генератор (б)

Алгебраические фракталы. Это самая крупная группа фракталов. Получа­ют их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться термино­логией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, ат­трактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают не­сколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась ди­намическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или, как говорят, аттрак­тор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракто­ров. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно по­лучить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узора­ми. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью прими­тивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. Ти­пичными представителями этого класса фракталов являются множества Жюлиа (рис. 1.7) и множество Мандельброта (Рис. 1.8).

Стохастические фракталы получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом меняются какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные: несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы ис­пользуются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Существуют и другие классификации фракталов, например, деление фрак­талов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерми­нированные (стохастические).

Контрольные вопросы

1. Кто и когда ввел понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия»?

2. Что означает слово «фрактал»?

3. Почему фракталы нашли свое применение в человеческой деятельности?

4. Каково основное свойство фракталов?

5. На какие классы делятся фракталы?

6. Как образуются геометрические фракталы?

7. Что такое первоначальный генератор для геометрических фракталов?

8. Примеры геометрических фракталов.

9. Как образуются алгебраические фракталы?

10. Что такое аттрактор?

11. Примеры алгебраических фракталов.

12. Как образуются стохастические фракталы?

13. Примеры стохастических фракталов.

Чтобы понять, что такое фрактальная размерность, для примера рассмот­рим береговую линию Норвегии (рис. 1.9).

Какова ее длина? В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды на западном побережье. Идя вдоль берега, то и дело можно встретить скалы, острова, бухты и обрывы, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на самых подробных картах. Прежде чем ответить на поставленный вопрос, необходимо решить, стоит ли включать в береговую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд переста­ет быть фиордом и где именно он переходит в реку? Ответить на эти вопросы иногда легко, иногда не очень. Но, даже если мы сумеем удовлетворительно от­ветить на все вопросы такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что при измерении длины береговой линии, циркулю можно придать раствор, соответствующий км и сосчитать число шагов , которые понадобились бы, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье.

В спешке можно было бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиордах, и принять за длину береговой линии величину . Если подобная оценка не удов­летворяет, то можно выбрать несколько меньший раствор циркуля и повто­рить все сначала. На этот раз в длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды. Для еще более точного подсчета длины береговой линии по­надобятся более точные карты. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вносить бесконечно. Всякий раз, когда мы будем увеличивать разрешающую способность, длина береговой линии будет разрастаться. Кроме того, при использовании циркуля будут возникать проблемы с островами и ре­ками. Альтернативный способ измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рисунка 1.9. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры . Число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии на карте, приблизительно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором . Уменьшение приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия Норвегии имела вполне определенную длину , то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квадратных ячеек , необходимых для покрытия берего­вой линии на карте, будет обратно пропорционально , а величина при уменьшении будет стремиться к постоянной . Однако это не так.

Прямая на графике в дважды логарифмическом масштабе соответствует зависимости , где .

Как видно из рисунка 1.10, при уменьшении длины шага , измеренная длина возрастает. График на этом рисунке выполнен в дважды логарифмиче­ском масштабе и показывает, что при уменьшении измеренная длина берего­вой линии отнюдь не стремится к постоянному значению. Наоборот, измерен­ная длина прекрасно описывается приближенной формулой

.

Для обычной кривой можно было бы ожидать, что (по крайней ме­ре, при достаточно малых ) и показатель D равен единице. Но для береговой линии Норвегии, как видно из рисунка 1.10, D ~ 1,52. Береговая линия - фрак­тал с фрактальной размерностью D.

На рисунке 1.11 воспроизведен график (данные взяты из книги Мандельб­рота «Чему равна длина береговой линии Британии?»), на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ. Все точки выстраи­ваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых. Угловой коэф­фициент этих прямых равен 1 - D где D - фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной границы). Береговая линия Великобритании имеет D~ 1,3. Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, что .

Контрольные вопросы:

1. Что такое размерность объекта?

2. Что такое топологическая размерность?

3. Как определяется фрактальная размерность природных объектов?

4. Чему равна фрактальная и топологическая размерности окружности,
груга, квадрата, сферы и шара?

5. Чему равна топологическая размерность береговой линии?

Дата добавления: 2013-12-13