Правило Лопиталя-Бернулли раскрытия неопределённостей вида и

Теорема (Г.Ф.А. Лопиталь 1661-1704, И. Бернулли 1667 − 1748). Пусть выполнены условия:

1) ; 2) ; 3) (случай неопределённости вида ). Тогда

− правило Л-Б.

Обратная импликация неверна.

Доказательство. Пусть . Можно считать, что и . Тогда по теореме Коши, будем иметь , где . Поэтому правая часть последнего равенства будет стремиться . Следовательно, левая часть равенства, то есть , также будет стремиться к .

То, что обратная импликация неверна, видно из следующего контрпримера.

Контрпример. Пусть . Тогда в то время, как предел не существует.

Замечание 1. Правило Л.-Б. справедливо и для пределов слева.

Замечание 2. Можно доказать, что правило Л-Б применимо и тогда, когда , а также в случае неопределённости вида .

Дата добавления: 2013-12-13