Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Определение несобственных интегралов

Несобственные интегралы.

Нам приходилось вычислять интегралы только от ограниченных функций, определенных на ограниченном отрезке (интегралы в собственном смысле слова). Рассмотрим
теперь несобственные (обобщенные) интегралы, которые можно использовать и в тех случаях, когда график функции не помещается в конечном прямоугольнике.

Определение 1.Пусть и пусть существует конечный предел частичного интеграла . В таком случае говорят, что имеет интегрируемую особенность первого рода или, что несобственный интеграл первого рода сходится, а его значение равно . (Короче: .)

Определение 2.Пусть и пусть существует конечный предел частичного интеграла . В таком случае говорят, что имеет интегрируемую особенность второго рода или, что несобственный интеграл второго рода сходится, а его значение равно . (Короче: .)

Если предел частичного интеграла не существует, говорят, что интеграл расходятся.

С формальной точки зрения разница между определениями 1 и 2 состоит лишь в том, или − конечная величина. Аналогично, можно рассмотреть случаи, когда или − конечная величина.

Замечание.В определении 2 интересен лишь случай, когда функция неограниченна в окрестности точки .

Упражнение.Доказать, что если ограниченная на отрезке функция при любом , то .

Указание.Воспользоваться критерием интегрируемости по Риману.

Теорема. (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов). Пусть − единственная особенность I или II рода функции на отрезке . Для того, чтобы эта особенность была интегрируемой, необходимо и достаточно, чтобы было , когда .

Доказательство.Рассматриваемое утверждение равносильно критерию Коши существования предела для функции .

Лемма.Пусть − единственная особенность I или II рода функции на отрезке и . Тогда несобственные интегралы и оба сходятся, либо оба расходятся. При этом .

Определение 3.Интеграл с несколькими особенностями называется сходящимся, если все эти особенности интегрируемы.

Пусть, например, имеет особенности в точках и пусть известно, что . В таком случае составной интеграл сходится тогда и только тогда, когда сходятся все простые несобственные интегралы:, , , , и .
При этом равен сумме всех перечисленных простых интегралов. Отметим, что из леммы 3 следует корректность определения 3 (в том смысле, что выбор точек не важен).



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле | Сходимость интегралов от неотрицательных функций

Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 754; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.019 сек.