Лекция 21. Раскрытие неопределенностей с помощью преобразований

Упражнения.

1. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8)

Ответы: 1) ; 2)0; 3) 0; 4); 5) ; 6) 6; 7) ; 8) .

Об основных способах раскрытия неопределенностей уже мы говорили в предыдущей лекции. В этой лекции мы обсудим этот вопрос более подробно.

При нахождении пределов функций вначале необходимо вместо независимой переменной подставить ее предельное значение. Если при этом получается конечное значение функции, то оно и будет ее пределом. Если при подстановке выясняется, что возникает неопределенность, то нужно от нее избавиться – раскрыть неопределенность. Для этого раскрытия используются, в первую очередь, два подхода. Первый: преобразование функций, стоящих под знаком предела, с помощью алгебраических и тригонометрических формул. Второй: выделение в рассматриваемой функции некоторых эталонных пределов, называемых замечательными. При раскрытии неопределенностей после каждого преобразования функции в нее подставляют предельное значение переменной, чтобы проверить, осталась ли неопределенность. Действия продолжают до тех пор, пока неопределенность не будет устранена.

Предел дробно-рациональной функции. Прежде чем мы перейдем к разбору возможных преобразований при возникновении неопределенностей отметим еще раз тот факт, что в области непрерывности любой функции её предел равен значению функции в указанной предельной точке, т.е. при отыскании предела дробно-рациональной функции можно в аналитическом выражении функции заменить аргумент его предельным значением, если при этом предельном значении знаменатель не обращается в нуль. Если , то , при .

Пример 1: Найти .

Функция - целая рациональная. Заменим в аналитическом выражении функции х его предельным значением и получим: .

Пример 2: Найти .

Функция - дробно-рациональная. Прежде чем заменять в аналитическом выражении функции х его предельным значением, нужно проверить, не обращается ли в нуль знаменатель дроби при х=3. Проверяем: .

Дата добавления: 2013-12-13