КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке
Схема исследования функции на возрастание-убывание и точки экстремума. 1. Находим область определения функции. То есть находим все те значения x, для которых существует (можно найти) значение функции . Заодно устанавливаем интервалы непрерывности и точки разрыва функции. 2. Находим производную . 3. Находим точки (значения x), подозрительные на экстремум (критические точки). То есть находим те точки (значения x), в которых производная функции или равна нулю, или не существует: а) б) не существует 4. Наносим все найденные в пунктах (а) и (б) подозрительные на экстремум точки на область определения функции (на ось ох) и фиксируем (например, дугами) интервалы, на которые разобьется область определения этими точками. Так как внутри каждого такого интервала производная функции существует и не обращается в нуль, то в каждом интервале производная сохраняет свой знак, который может измениться лишь при переходе к другому интервалу. С помощью вычисления производной в пробных внутренних точках определяем знак производной в каждом интервале. По найденным знакам производной устанавливаем интервалы возрастания и убывания функции, а по смене знака производной определяем точки экстремума функции (точки максимума и минимума). 5. В найденных точках максимума и минимума вычисляем значения функции и тем самым определяем вершины и впадины графика функции, отмечая заодно, округлые они или острые. Пример 2. Исследовать функцию на возрастание-убывание и точки экстремума. Решение. Действуем по изложенной выше схеме. 1. Функция определена (а следовательно, и непрерывна) для любых x, то есть на всей числовой оси ох (). Значит, её график – сплошная (без разрывов) линия.
2. Найдем производную : . 3. Найдем точки (значения x), подозрительные на экстремум: а) . б) не существует Þ таких x нет. 4. Нанесем найденные подозрительные на экстремум точки и на область определения функции (на ось ох). Ось ох этими точками разобьется на три интервала: Определяем знаки производной в этих интервалах (они отмечены на рис. выше). Тем самым устанавливаем интервалы возрастания функции (они помечены стрелкой вверх) и интервал ее убывания (стрелка вниз), а также устанавливаем, что точка – точка максимума функции, а точка – точка ее минимума. 5. Находим (вычисляем) значения функции в точках ее максимума и минимума, устанавливая тем самым вершины и впадины графика функции: ; точка – вершина графика функции (округлая, т.к. ). ; точка – впадина графика функции (округлая, т.к. ). 6. В дополнение к проведенному исследованию найдем еще точки пересечения графика функции с осями координат: а) С осью ох: б) С осью оу: А теперь построим этот график (рис. 4):
Пусть – функция, непрерывная на некотором отрезке оси ох (рис. 5) Ставится задача: указать схему нахождения тех точек отрезка оси ох, в которых функция достигает своего наибольшего значения и своего наименьшего значения , и найти эти и. Сразу отметим, что такие точки на отрезке заведомо существуют (это доказано). А вот на интервале их может и не быть. То есть на интервале функция своих наибольшего и наименьшего значений может и не иметь. Например, функция на отрезке свое наименьшее значение достигает в точке , а свое наибольшее значение достигает в точке . А вот на интервале своих наибольшего и наименьшего значений функция , очевидно, не имеет (не достигает). Вернемся к рис. 5, на котором изображена произвольная непрерывная на отрезке функция . Здесь достигается функцией на конце a отрезка , а – в точке x1, являющейся одной из точек минимума функции. И вообще, очевидно, что и при любой другой форме графика непрерывной функции наибольшее и наименьшее значения достигаются ею на отрезке или в её точках экстремума, содержащихся на этом отрезке, или на концах отрезка. Отсюда вытекает следующая
схема нахождения и функции на отрезке : 1. Находим производную . 2. Находим принадлежащие отрезку точки, подозрительные на экстремум. 3. Не исследуя этих точек, вычисляем значение функции во всех найденных подозрительных точках, а также на концах a и b отрезка . Из всех найденных значений y выбираем и. А заодно и устанавливаем, в каких точках отрезка эти идостигаются. Пример 3. На отрезке найти наибольшее и наименьшее значения функции . Решение. Реализуем изложенную выше схему. 1. Найдем : . 2. Найдем на отрезке точки (значения x), подозрительные на экстремум: а) . б) не существует Þ таких x нет. На отрезке содержатся лишь две подозрительные на экстремум точки: это и . 3. Вычисляем значении функции в обеих найденных подозрительных точках, а также на концах отрезка, и выберем из найденных значений функции наибольшее и наименьшее: ; ; ; Ответ: ; .
Дата добавления: 2013-12-13; Просмотров: 574; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |