Функция распределения Больцмана

Распределение Больцмана

Пусть идеальный газ находится во внешнем поле, в котором потенциальная энергия молекулы равна . Температура газа во всех точках занимаемого газом пространства, объемом V, одинакова и равна Т.

В этом случае равновесное распределение частиц в пространстве устанавливается за счет действия двух факторов - теплового движения, которое стремится разбросать частицы идеального газа равномерно по всему объему пространства (энергия теплового движения определяется энергией ), и сил потенциального поля, которые стремятся расположить частицы в тех точках пространства, где их потенциальная энергия минимальна. Больцман показал (1869-1871), что в этом случае функция распределения частиц идеального газа по координатам запишется следующим образом:

. (2.25)

Функция распределения Больцманаявляется плотностью вероятности, она равна отношению вероятности найти частицу в бесконечно малом объеме около точки с координатами () к величине объема , или равна отношению относительного числа частиц , попадающих в бесконечно малый объем около точки пространства с координатами () к величине объема .

В формуле (2.25) величина определяет концентрацию молекул в точке пространства с координатами (): . Постоянная дает концентрацию молекул в тех точках пространства, в которых потенциальная энергия частиц равна нулю.

Функция распределения Больцмана позволяет найти вероятность попадания молекулы в произвольный объем пространства или относительное число молекул , попадающих в этот объем около точки с координатами ()

, (2.26)

где интеграл берется по объему пространства .

Входящая в формулу (2.25) концентрация находится из условия нормировки

. (2.27)

В формуле (2.27) интеграл берется по всему объему , занимаемому газом.

Выражение (2.26) можно упростить, если объем будет малым (в пределах этого объема =функция распределения остается неизменной)

. (2.28)

Дата добавления: 2013-12-13