Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Прямоугольная декартова система координат


Замечания.

1) в правой части равенств (*) коэффициентами при служат координаты и вектора в старой системе координат, коэффициентами при - координаты и вектора в старой системе координат, свободными членами – координаты нового начала в старой системе координат;

2) по определению базиса векторы и неколлинеарны, а по теореме из §3: определитель из их координат отличен от нуля:

.

Можно доказать, что если старая и новая системы координат одного типа (например, обе правые), то , если же разных типов, то .

Определение. Аффинная система координат называется прямоугольной декартовой, если ее координатные векторы составляют ортонормированный базис .

;

.

Теорема 1. Расстояние между точками А(х11) и В(х22) в прямоугольной декартовой системе координат выражается формулой:

.

Доказательство. По определению длины вектора имеем:

, где .

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть 1) старая и новая системы координат – прямоугольные декартовы: и ; 2) новое начало координат имеет в старой системе координаты и : ; 3) новая ось абсцисс составляет со старой осью абсцисс Ox угол α: . Тогда старые координаты х и у точки М выражаются через новые координаты этой точки и по формулам:

1) при системах координат одинаковых типов:

(1)

2.) при системах координат различных типов:

(2)

 

Доказательство. 1 случай. Пусть обе системы координат правые. Отложим от одной точки О координатные векторы старой системы , и координатные векторы новой системы , .

Так как по условию теоремы , , то по определению косинуса и синуса при α имеем:

(3)

 

Так как , то аналогично имеем по определению косинуса и синуса угла и формулам приведения:

(4)

Подставляя выражения (3) и (4) в общие формулы перехода от одной аффинной системы координат к другой из §3, получаем:

(1)

2 случай. Системы координат различных типов, например, старая – правая, новая – левая.

; .

Теорема доказана.

Замечание. В соответствии с замечанием 2 из §2 имеем при системах координат одинаковых типов:



из (1) ,

а при системах координат различных типов:

из (2) .

Следствие 1. Если новая система координат получена из старой с помощью параллельного переноса, то α=00 и формулы (1) принимают вид (cos 00=1, sin00=0):

 

Следствие 2. Если новая система координат получена из старой с помощью поворота на угол α вокруг начала координат, то х00=0 и формулы (1) принимают вид:

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Переход к новой аффинной системе координат | Полярная система координат

Дата добавления: 2013-12-14; Просмотров: 311; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.019 сек.