Взаимное расположение точки и прямой

Другие способы задания прямой

1⁰. Параметрические уравнения прямой

 

Пусть прямая l задана направляющим вектором (s₁;s₂) и точкой M₀(x₀;y₀). Точка M(x;y) принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда: || , то есть, когда существует число t такое, что или в координатах:

(1)

или

Определение 1.Равенства (1) называются параметрическими уравнениями прямой, а t – параметром.

Замечание.При изменении параметра t от до ( ) будут получаться различные точки данной прямой.

2⁰. Уравнение прямой в отрезках на осях координат

 

Пусть прямая не проходит через начало координат и пересекает обе оси координат: ось Ox в точке A(a;0), ось Oy в точке B(0;b). Тогда по теореме 2 из §7 имеем: или , или , так как a ≠ 0, b ≠ 0 => . (2)

Определение 2. Абсцисса a и ордината b точек пересечения прямой с осями координат Ox и Oy называются отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат.

Уравнение (2) называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.

3⁰. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Рассмотрим не параллельную оси Oy прямую с уравнением:

где b ≠ 0.

Преобразуем это уравнение:

 

Обозначим: тогда получим:

. (3)

Определение 3.Уравнение (3) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Число k называется угловым коэффициентом, число b₀ – “начальной ординатой” данной прямой.

Теорема.1) Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла φ между положительным направлением оси Ox и этой прямой; 2) “Начальная ордината” прямой есть ордината точки пересечения этой прямой с осью Oy.

Доказательство.

1) Пусть M₁(x₁;y₁) и M₂(x₂;y₂) – две точки данной прямой с уравнением (3), тогда:

где

 

Рассмотрим ∆M₁M₂N. Так как M₁N || Ox, то имеем:

 

Итак, .

2) Найдем ординату точки пересечения данной прямой с осью Oy:

.

Следствие.Прямая с угловым коэффициентом k, проходящая через данную точку M₀(x₀;y₀), задается уравнением:

. (4)

Доказательство.

Точка M₀ лежит на данной прямой, тогда имеем:

(5)

Вычитая почленно из уравнения (3) уравнение (5), получим уравнение (4).

Замечание.Если прямая параллельна оси Oy, то и В этом случае прямая задается уравнением , так как уравнения (3) и (4) теряют смысл.

Теорема 1. Расстояние α от точки M₀(x₀;y₀) до прямой p с уравнением

(*)

выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть (a;b) – нормальный вектор прямой p, M₁(x₁;y₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки M₀ на прямую p. Тогда

Возможны два случая взаимного расположения и вектора :

 

Вычислим скалярное произведение двумя способами.

1 способ. , где .

, ;

Могут представиться случаи:

.

Тогда получаем: (2)

2 способ. , .

, так как и .

Итак, . (3)

Из (2) и (3) имеем: . (4)

Из (4) получаем:

или . (1)

Теорема 2. Координаты точек одной из полуплоскостей, на которые прямая с уравнением разбивает плоскость, удовлетворяют неравенству: , а координаты другой полуплоскости – неравенству: .

Доказательство.

 

Пусть точки находится в той полуплоскости, в сторону которой направлен нормальный вектор (рис. 1). Тогда , и из равенства (3) имеем: .

Если же точка лежит в другой полуплоскости, то , и из равенства (3) имеем: .

Теорема доказана.

Следствие. Если точки и лежат по одну сторону от прямой с уравнением , то при подстановке их координаты в трехчлен получаются значения одного знака, а если по разные стороны – значения разных знаков.

Пример 1. Исследовать взаимное расположение точки и прямой .

Имеем по формуле (1):

;

M₀ ;

.

Таким образом, точка находится на расстоянии от данной прямой и лежит по разные стороны от неё с началом координат.

Пример 2. Задать аналитически треугольник, стороны которого лежат на прямых с уравнениями: , , .

- уравнение прямой в отрезках на осях координат.

, , .

1) ;

2) ;

3) .

 

- система неравенств, задающая внутреннюю область ∆АВС.

 

 

- система неравенств, задающая весь ∆АВС (объединение его сторон и внутренней области).

§ 11. Взаимное расположение двух прямых

Определение. Углом от прямой до прямой называется направленный угол Θ(тэта), удовлетворяющий условиям:

1) при повороте на него прямая совмещается с прямой ;

2) .

 

Теорема 1. Угол Θ от прямой с уравнением до прямой с уравнением выражается формулой:

(1)

Доказательство.

Пусть , , то есть ,.

Рассмотрим два возможных случая взаимного расположения прямых _, и оси .

 

По теореме о внешнем угле треугольника имеем:

или; или;

В обоих случаях получаем:

.

Теорема доказана.

 

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

.

Доказательство.

.

Следствие 2. Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

.

Доказательство.

.

Пример. Записать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой с уравнением .

Решение:

1) Будем искать уравнение искомой прямой в виде . Имеем: .

2) Найдем угловой коэффициент данной прямой:

.

3) Найдем угловой коэффициент искомой прямой: .

4) Записываем уравнение искомой прямой:

.

Теорема 2. Угол от прямойс уравнением (2)

и прямой с уравнением (3)

выражается формулой:

(4)

Доказательство.

Запишем уравнения данных прямых (общие) в виде уравнений с угловым коэффициентами:

, , .

, , .

Подставим значения и в формулу (1):

.

Теорема доказана.

Замечание 1.Формула(4)может использоваться и в случае (прямые и параллельны оси и ).

Следствие 1. Условием параллельности двух прямых является следующее:

.

 

Замечание 2. Если выполняются соотношения , то уравнения (2) и (3) эквивалентны, а прямые и совпадают (параллельны в широком смысле). Если же , то система из уравнений (2) и (3) несовместна, а прямые и не имеют общих точек (параллельны в узком смысле).

Следствие 2.Условием перпендикулярности двух прямых является следующее:

.

Замечание 3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых могут быть выведены и иначе. Пусть и - нормальные векторы данных прямых. Тогда имеем:

 

1) для параллельных прямых и векторы и коллинеарны, тогда или , .

 

2) для перпендикулярных прямых и векторы и ортогональны, тогда или , .

 

Пример. Найти угол между медианой CD и стороной AB треугольника с вершинами: , , .

Решение.

 

1) Уравнение медианы CD данного треугольника ABC уже было найдено ранее: (смотри пример из §7).

Для этого сначала нашли точку D как середину отрезка AB.

Затем составили уравнение прямой CD как прямой, проходящей через две данные точки C и D.

2) Составляем аналогично уравнение прямой AB:

или или .

3) угол между прямыми CD и AB:

1 способ:

.

2 способ: