Полярная система координат. Основная идея метода координат – положение точки на плоскости однозначно определяется двумя числами

Основная идея метода координат – положение точки на плоскости однозначно определяется двумя числами.

Конкретный геометрический смысл этих чисел дает ту или иную систему координат.

Наиболее важной после декартовой системы является полярная система координат.

Пусть О – полюс (некоторая точка плоскос-ти). Проведем из полюса направленную полупрямую Ох – полярную ось. Пусть М – произвольная точка плоскости.

Длина отрезка ОМ = r называется полярным радиусом точки М, а угол φ – полярным углом. Величины r и φ – полярные координаты точки М, r [0; +∞), φ [0; 2π). Угол φ отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Взаимосвязь между декартовыми и полярны-ми координатами точки:

x = r cosφ, y = r sinφ;

,.

^{_______________________________}

Найдем площадь S криволинейного сектора, т.е. плоской фигуры, ограниченной непрерывной линией r = r (φ) и двумя лучами φ= α и φ= β (α< β).

Для решения задачи используем метод дифференциалов.

1. Пусть S = S (φ), где φ [α;β] (S (α)=0, S (β)= S).

2. Даем приращение полярному углу ∆φ= d φ, тогда

∆ S = S_ОАВ

(ОАВ –элементарный криволинейный сектор);

dS = S_ОАС при d φ 0

(ОАС –круговой сектор радиуса r с центральным углом d φ).

.

3. Интегрируем полученный дифференциал в пределах отφ= α до φ= β:

. (10)

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой»

r = а cos3φ.

Решение _▼ Площадь половины лепестка, т.е. площади всей фигуры в соответствии с (10):

.

Следовательно

.

^▲

Дата добавления: 2013-12-13