Остаточный член формулы Тейлора

Рассмотрим любую функцию , которая имеет непрерывные производные до -го порядка в некоторой окрестности точки . Составим многочлен Тейлора n -й степени по степеням :

. (19.5)

совпадает с функцией в точке , но для всех x он не равен . Кроме того,

, , .

Положим

. (19.6)

Здесь – остаточный член формулы Тейлора. Он показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (19.5).

Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для из этой окрестности найдётся точка такая, что

(остаточный член в форме Лагранжа).

Функцию можно записать в виде:

. (19.6*)

Если , то формулу (19.6*) называют формулой Маклорена [2].

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора.

Остаточный член в форме Коши: , где .

Формула Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано [3]:

.

Эта формула приспособлена для изучения функции в окрестности точки .

Дата добавления: 2014-01-04