Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Маклорена

Разложение элементарных функций в ряд Тейлора и

На практике и в теоретических исследованиях часто возникает необходимость в замене некоторой сложной функции , заданной в окрестности некоторой точки , суммой более простых функций. В качестве таких простых функций целесообразно взять степенные функции или , Т.е.

=. (8)

Выясним, каким условиям должна удовлетворять функция , чтобы её можно было представить в виде такого ряда.

Теорема (Необходимое условие разложения функции в степенной ряд) Для того, чтобы функция была суммой степенного ряда (8) на некотором интервале, содержащем точку , необходимо, чтобы эта функция на данном интервале имела непрерывные производные любого порядка.

 

Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд) Если функция на некотором интервале является суммой степенного ряда, то это разложение единственно.

 

  Опр. Степенной ряд, полученный в результате разложения функции по степеням разности , называется рядом Тейлора, а коэффициенты этого ряда – коэффициентами Тейлора. =…+ +

 

В частном случае получается ряд Маклорена

= + + + … + +…+

 

Теорема (необходимое и достаточные условия разложения в ряды Тейлора) Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая в точку функция являлась суммой составленного для неё ряда Тейлора, , чтобы остаточный член этого ряда

 

Пример 4 Разложить в ряды Маклорена.

Решение:

===…=…=

===…=…=1

==

Определим область сходимости полученного степенного ряда. Для этого запишем остаточный член в форме Лагранжа:

= , ,

===0=0.

Это имеет место для любого , этот степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Пример 5 Разложить , в ряд Маклорена.

Решение:

, ,

, , ,

, , , ,…, , ,

=

Запишем остаточный член этого ряда в форме Лагранжа:

==, .

===

==0.

Этот ряд сходится на всей числовой оси.

- аналогично

Пример 6 Разложить в ряд Маклорена =(биномиальный ряд).

Решение:

, , ,

,…

, , , ,…

=.

=

Это биноминальный ряд. Для определения его области сходимости применим признак Даламбера:

===.

Следовательно, ряд сходится при .

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Опр. Интервал сходимости степенного ряда (2) называется такой интервал , что для всех | Некоторые применения степенных рядов
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 298; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.016 сек.