Лекция 28

Метрические пространства

Логический анализ понятия предела последовательности действительных чисел, предела функции в точке, непрерывности и ряда других важнейших, связанных с этими понятий показывает, что все эти понятия опираются на использование расстояния между точками прямой. Перечень свойств расстояний довольно краток и состоит из таких утверждений:

1. "{x,y}Ì IR: êx-yï³0, причем êx-yï=0 Û x=y;

2. "{x,y}Ì IR: êx-yï=çy-xï;

3. "{x, y, z}Ì IR: êx-yï£çx-zï+ïz-yï.

Здесь êx-yï – расстояние между точками с координатами x и y на прямой. Свойствами 1-3 обладает также обыкновенное расстояние в трехмерном пространстве. Абстрактное определение расстояния, обладающего свойствами 1-3 на множестве элементов произвольной природы позволяет строить ряд понятий математического анализа на этом множестве.

Пусть X – некоторое множество, будем считать, что X¹Æ. Элементы множества Х называют также точкам, а само множество Х – пространством.

Определение 28.1. Расстоянием (метрикой) r на пространстве Х называется функция r: Х ´ Х ® IR, удовлетворяющая условиям:

1) "{x,y}ÌХ: r(x,y)³0, причем r(x,y)=0Û x=y;

2) "{x,y}ÌХ: r(x,y)=r(y, х);

3) "{x, y, z}Ì Х: r(x,y)£r(x,z)+r(z,y).

Множество Х вместе с метрикой r называется метрическим пространством и обозначается символом (Х, r).

Замечание. Условия 1)-3) называют также аксиомами, условие 2) – аксиомой симметрии; а 3) – неравенством треугольника.

Примеры 28.1.

Пусть Х=IR и r(x,y)=êx-yï, {x,y}ÌIR. Тогда (IR,r) – метрическое пространство с обычным расстоянием.

Пространство (IR^m,r). Пусть для фиксированного mÎN X=IR^m:={(x₁,x₂,..,x_m):êx_iÎIR, 1£ i £m} и "{x=(x₁,x₂,..,x_m), y=(y₁,y₂,..,y_m)}ÌIR^m пусть r(x,y):=. Докажем, что r - метрика в IR^m. Условия 1) и 2) выполняются. Согласно неравенству Коши для x=(x₁,x₂,..,x_m)ÎIR^m, y=(y₁,y₂,..,y_m)ÎIR^m, z=(z₁,z₂,..,z_m)ÎIR^m, получим r²(x,y)=.

Учитывая условие:

1) получим неравенство

3) Таким образом, r - метрика на IR^m, а (IR^m,r) – метрическое пространство. Обычно эту метрику называют евклидовой.

1. Пространство (l₂, r). Пусть Х= l₂ := {x=(x_n)=(x₁,x₂,..,x_n,…)} "n³1: x_nÎIR - пространство бесконечных числовых последовательностей, для которых ряд сходится и для "xÎl₂, "yÎl₂. Проверку условий 1)-3) можно выполнить в качестве упражнения.

2. Пространство (С([a, b]), r). Это пространство функций непрерывных на отрезке [a, b].Пусть x Î С([a, b]) и "{x, y}Ì С([a, b]) r (x, y):=. Расстояние r в этом случае имеет простой геометрический смысл и представляет собой максимум модуля разности ординат точек графиков функций, когда аргумент пробегает отрезок [a, b]. Свойства 1)-3) метрики r легко проверить.

3. Пусть Х – метрическое пространство, тогда имеет место неравенство треугольника "{x, y, z}ÌX: ½r(x,z) - r(z,y)|£r(x,y).

Решение. Следуя аксиомам 3) и 2), получим r(x,z)£r(x,y)+r(z,y)Þr(x,z)-r(z,y)£r(x,y).

Аналогично r(z,y)£r(z,x)+r(x,y)Þr(z,y)-r(x,z)£r(x,y).

Согласно свойствам модуля вещественного числа оба неравенства и равносильны доказываемому.

4. Для любого конечного набора x₁,x₂,..,x_n точек из метрического пространства Х выполняется неравенство r(x₁,x_n)£r(x₁,x₂)+r(x₂,x₃)+ r(x₃,x₄)+…+ r(x_n-1,x_n), называемое неравенством многоугольника.

Доказательство этого неравенства можно получить вследствие последовательного применения аксиомы 3).

Определение 28.2. Последовательность {x_n}, n = 1, 2, … элементов метрического пространства (Х, r) называется фундаментальной, если r(х_n, у_m) ® 0, когда n, m стремятся к бесконечности.

Определение 28.3. Метрическое пространство (Х, r) называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, являющемуся элементом этого пространства.

IR, IRⁿ , C[a, b] – полные метрические пространства.

Нормированные пространства

Определение 28.4. Линейное пространство Е называется нормированным пространством, если каждому xÎЕ поставлено в соответствие неотрицательное число (норма х) так, что выполняется следующие три аксиомы:

1) в том и только в том случае, когда х=0;

2) ,

3) .

Таким образом, норма – это определенная всюду на Е функция с неотрицательными значениями и со свойствами 1)-3). Заметим, что аксиома:

1) - называется условием невырожденности нормы,

2) - условием однородности нормы,

3) - неравенством треугольника.

В случае векторов аксиома 3) означает, что длина сторон треугольника не превышает сумы длин двух других его сторон. Как следствие отсюда имеем: длина любой стороны треугольника больше или равна разности длин двух других его сторон. Соответствующее неравенство для нормы имеет вид . (26.1.)

Докажем это неравенство. По неравенству треугольника имеем , откуда ; меняя ролями х и у, получаем . Оба последние неравенства в совокупности дают неравенство (26.1.).

В нормированном пространстве можно ввести расстояние между любыми двумя его элементами по формуле r(x,y)=.

Примеры 28.2.

Прямая IR становится нормированным пространством, если для всякого числа xÎIR положить .

Если в действительном n-мерном пространстве IRⁿ c элементами x=(x₁,x₂,..,x_n) положить , то все аксиомы нормы будут выполнены.

Формула r(x,y)==определяет в IRⁿ ту самую метрику, которую мы рассматривали в примере 1.

В этом же линейном пространстве можно ввести норму

или норму .

Примеры 28.3.

Пространства Лебега L^P (p³1). Пусть G – измеримое множество в 3-мерном евклидовом пространстве. Будем рассматривать всевозможные вещественные или комплексные функции на G, суммируемые по Лебегу со степенью р, и введем обычные действия сложения функций и умножения функций на число. Тогда получим вещественное (соответственно комплексное) линейное пространство. Действительно, если x(t) и y(t) суммируемые со степенью р, то их сумма также суммируема на G со степенью р, ибо она измерима и ôa+bô^P £ 2^P (ôaô^P +ôbô^P), что вытекает из неравенства ôa+bô^P £ (2ôaô)^P = 2^P ôaô^P £ 2^P (ôaô^P +ôbô^P) при ôbô£ôаô. Положим теперь .

1) . Нуль пространства L^P есть функция, равная нулю почти всюду на G. В теории интеграла принято, что функции, отличающиеся друг от друга лишь на множестве меры нуль, считается эквивалентными, поэтому . Ясно также, что

2) . Третье свойство нормы есть здесь не что иное, как неравенство Минковского: .

Таким образом, рассматриваемое линейное пространство оказывается нормированным с нормой. Оно называется пространством Лебега и обозначается L^P или L_P.

2. Пространство L^P. Будем рассматривать всевозможные последовательности (x₁,x₂,x₃,…)=х вещественных или комплексных чисел, для которого . Такие последовательности в силу образуют линейное пространство относительно сложения х+у=(x₁+у₁,x₂+у₂,x₃+у₃,…) и умножения aх=(ax₁, ax₂, ax₃,…) на скаляры соответственно из поля IR или С. Положим

Выполнение первой и второй аксиомы нормы непосредственно следует из определения, а третьей – из неравенства Минковского для сумм.

Основным аппаратом при доказательстве теорем гармонического анализа является интегрирование непрерывных абстрактных функций со значениями в нормированном пространстве Е. Приведем соответствующие определения и необходимые элементы теории.

Пусть f(t) означает элемент полного нормированного пространства Е, зависящий от вещественного параметра t, или, что тоже, функцию параметра t, со значениями в пространстве Е. Такие функции называют абстрактными функциями. Будем говорить, что f(t) непрерывно зависит от параметра t в точке t = t, если при t ® t всегда норма разности f(t) – f(t) стремится к нулю. Абстрактная функция f(t), непрерывно зависящая от t при любом t из отрезка [a, b], называется непрерывной абстрактной функцией от t на [a, b].

Следующие предложения, представляющие собой естественные обобщения известных элементарных теорем анализа, легко доказываются с помощью обычных рассуждений, использующих компактность отрезка:

a) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, ограничена по норме на этом отрезке.

b) Абстрактная функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на этом отрезке.

c) Последовательность абстрактных функций f_n(t) называется сходящейся к абстрактной функции f(t) равномерно на [a, b], если для любого e>0 можно указать такой номер N = N(e), что при n>N максимум нормы разности этих функций меньше e.

Утверждается, что предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций f_n(t) есть также непрерывная функция.

Интеграл от абстрактной функции обладает обычными свойствами интеграла (линейность, аддитивность, оценка нормы и т.п.).

Бесконечномерные евклидовы пространства

Хорошо известным способом введения нормы в линейном пространстве является задание в нем скалярного произведения.

Скалярным произведением в действительном линейном пространстве Е называется действительная функция (х,у), определенная для каждой пары элементов х,у Î Е и удовлетворяющая следующим условиям:

1) (х,у)=(у,х);

2) (х₁+х₂,у)=(х₁,у)+ (х₂,у);

3) (lх,у)=l(у,х);

4) (х,х)³0, причем (х,х)=0 только при х=0.

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. В евклидовом пространстве Е вводится норма с помощью формулы . Из свойств 1)-4) следует, что все аксиомы нормы при этом выполнены.

Действительно, нетривиальной является лишь проверка неравенства треугольника, которое следует из неравенства Коши - Буняковского , которое, в свою очередь, можно получить следующим образом. Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной l, неотрицательный при всех значениях l:

Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то всегда j(l)³0. Следовательно, дискриминант этого трехчлена меньше или равен нулю. Неравенство Коши - Буняковского как раз и выражает не что иное, как неположительность дискриминанта этого квадратного трехчлена j(l).

Отметим, что в евклидовом пространстве сумма, произведение на число и скалярное произведение непрерывны в смысле сходимости по норме.

Если (х,у)=0, то векторы х и у называются ортогональными.

Примеры 28.4.

n-мерное арифметическое пространство Rⁿ, элементами которого служат системы действительных чисел х=(х₁,…, х_n), с обычными операциями сложения и умножения и скалярным произведением представляет собой хорошо известный пример евклидова пространства. Ортогональный нормированный базис в нем образуют векторы е₁==(1,0,0,…,0), е₂=(1,0,0,…,0),…, е_n=(1,0,0,…,0).

Примеры 28.5.

Пространство l₂ c элементами х=(х₁, х₂,…, х_{n, …}), где , и скалярным произведением есть евклидово пространство, что следует из неравенства . Свойства 1)-4) скалярного произведения проверяются непосредственно. Простейший ортогональный нормированный базис в l₂ образуют векторы

е₁ = (1, 0, 0, …), е₂ = (0, 1, 0, …), …, е_n = (0, 0, …, 1, …), …

Ортогональность и нормированность этой системы очевидна.

Примеры 28.6.

Пространство С²([a,b]), состоящее из непрерывных на [a,b] действительных функций со скалярным произведением также является евклидовым пространством. Среди различных ортогональных базисов, которые можно указать в нем важнейшим является тригонометрическая система, состоящая из функций (n=1,2,…).

Ортогональность этой системы проверяется непосредственно. Если рассматриваются непрерывные функции на отрезке длины 2p, скажем на [-p;p], то соответствующая тригонометрическая система имеет вид (n=1,2,…).

Полнота пространства

Последовательность (х_n) точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого d>0 можно указать такой номер N, что для всех n и m, больших N, выполняется неравенство r(x_n, x_m)< d.

Последовательность (х_n) точек метрического пространства называется сходящейся, если существует такая точка Х этого пространства, что r(x_n, x)=0. В этом случае пишут или х_n ®х и говорят, что х – предел последовательности точек (х_n) или (х_n) сходится к х.

Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится, называется полным. Полное нормированное линейное пространство называется банаховым пространством.

Примеры 28.7.

Дата добавления: 2014-01-04