Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода

Свойства криволинейного интеграла 1-го рода

1. Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.
2. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

(26.2)

Справедливость этих свойств следует из определения криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

,

где - координата точки M_i, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

= (26.3)

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t₀ ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (26.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

(26.4)

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

Пример. Вычислить где L:

Применяя формулу (26.4), получим:

Дата добавления: 2014-01-04