Уравнение поверхности в пространстве

СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ П.С.К. И Д.С.К.

Полярная система координат

Уравнение линии на плоскости. Полярная система координат. Уравнение поверхности и линии в пространстве. Уравнение прямой линии на плоскости и в пространстве.

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.

Лекция 4

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Рассмотрим три вектора:

,

,

Тогда их смешанное произведение будет равно:

Пример 4: Даны вершины пирамиды:,;;. Найти длину высоты, опущенной из вершины.

. С другой стороны:, где:;

.

Пусть на плоскости задана линия L. Уравнение F(x,y)=0 называется уравнением линии L (в заданной системе координат), если этому уравнению удовлетворяют все точки, принадлежащие линии L и не удовлетворяют уравнению координаты точек, которые этой линии не принадлежат, т.е. (х,у) L. Таким образом линия L – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: F(x,y)=0.

Для аналитического представления линии L часто удобно использовать параметрическое задание:.

Если удаётся исключить параметр t, то уравнение линии: F(x,y)=0

Пример1: Рассмотрим уравнение: (F(x,y)=0) – это уравнение окружности, радиуса = R и с центром в начале координат. Рассмотрим зависимости:, где t – некоторый параметр (в данном случае это угол между радиус-вектором (.)М (х,у) и осью ОХ). Можно исключить параметр t:

, т.е. имеем уравнение ранее приведённое уравнение окружности.

Для определения системы полярных координат на плоскости необходимо задать:

1) Масштаб (единицу длины)

2) Направление вращения в плоскости, считаемое положительным

3) Точку, называемую «началом» или полюсом системы координат

4) Полупрямую ОХ, исходящую из точки О, называемую «полярной осью»

Если таким образом выбрана система координат, то для каждой точки плоскости М(х,у) определены её полярные координаты:

1) Угол наклона радиус-вектора к полярной оси

2) Расстояние точки М от начала координат (или длина радиус вектора)

При этом, угол - называется полярным углом, 0 ≤ ≤

Число называется полярным радиусом

Замечание: Иногда, бывает целесообразным считать полярный угол точки определённым с точностью до слагаемых вида:, т.е. наряду с углом, есть угол

Пример2: Пусть, - линия в полярной системе координат, совмещая п.с.к. с д.с.к. получим линию, называемую СПИРАЛЬЮ АРХИМЕДА.

Совместим соответствующим образом системы координат, тогда:

Пример3: Пусть дана линия, заданная уравнением в п.с.к. Область определения данного уравнения:, т.е.; Тогда, имеем:

Или. Это уравнение параболы.

Пусть задана д.с.к. в пространстве и некоторая поверхность S.

· Говорят, что уравнение F(x,у,z) =0 является уравнением поверхности S,если координаты любой точки М(x,y,z) S удовлетворяют этому уравнению, а координаты (.)М S не удовлетворяют ему.

Пусть,например, S - сфера с центром в (.)Мо (,). Все точки сферы одинаково удалены от центра (.) Мо, т.е. или

Отметим, что в уравнении поверхности F(x,у,z) =0 не обязательно присутствуют все три переменные x,у,z.

Пусть отсутствует переменная z, т.е. F(x,y)=0;

Тогда это уравнение задаёт некоторую линию L на плоскости xОу.

Если (), но все точки, где z – произвольное значение также удовлетворяют этому уравнению: F(, 0.

Эти точки при фиксированных значениях () лежат на прямой, проходящей через (.) () и параллельной оси Оz.

Такие поверхности называются цилиндрическими.

Дата добавления: 2014-01-04