Электромагнитные волны в направляющих структурах

ПОНЯТИЕ О ВОЛНОВОДАХ И ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ

Канализация энергии очень высокой частоты по обычным двухпроводным линиям передачи практически невозможна ввиду того, что: 1) провода линии играют роль антенн и, вместо того чтобы передавать энергию потребителю, излучают ее в пространство; 2) активное сопротивление проводов линии при сверхвысоких частотах в силу резко выраженного поверхностного эффекта оказывается настолько большим, что весьма значительная часть энергии затрачивается на нагрев проводов.

Применение коаксиального кабеля для канализации энергии весьма высокой частоты экономически также невыгодно. Хотя в этом случае энергия в окружающее пространство и не излучается (так как оболочка кабеля одновременно является и экраном), однако в кабеле велики потери энергии в жиле и диэлектрических шайбах (например, из полистирола или полиэтилена), с помощью которых жила крепится внутри кабеля. Коаксиальный кабель применяют для передачи сигналов с диапазоном частот от нуля до нескольких мегагерц и используют в силовых, телефонных и телевизионных устройствах.

При частоте больше Гц энергию передают по волноводам. Волновод представляет собой полую трубу прямоугольного или круглого сечения.

На рисунке 4, а изображен прямоугольный волновод. Размеры а и b находятся в определенном соотношении с длиной волны. Так, например, при длине волны λ = 10 см берут b = 3,4 см и а = 7,2 см.

Рисунок 4

Энергия внутрь волновода обычно доставляется с помощью небольшого стерженька, помещенного в волноводе, и коаксиального кабеля, соединенного с генератором высокой частоты (рисунок 4, а), или с помощью петли с током, помещаемой в волноводе, и коаксиального кабеля, соединенного с генератором высокой частоты (рисунок 4, б). Иногда волновод возбуждают, соединяя его через щель или диафрагму с другим волноводом или резонатором. Отвод энергии с другого конца волновода производят с помощью стерженька, петли или через щель.

Энергия передается вдоль волновода, отражаясь от его стенок (рисунок 4, в). Стенки волновода являются как бы направляющими для потока энергии. Небольшая часть энергии проникает в стенки волновода и выделяется в них в виде теплоты. Для уменьшения потерь энергии в стенках волновода внутреннюю поверхность труб полируют и покрывают слоем хорошо проводящего металла, например серебра.

Рисунок 5 – Соединитель волноводный

В качестве резонансных контуров при не очень высоких частотах применяют контуры с сосредоточенными индуктивностями и емкостями или отрезки линий с распределенными параметрами. При сверхвысоких частотах (при длине волн сантиметрового диапазона) контуры с сосредоточенными параметрами L и C и отрезки линий с распределенными параметрами оказываются малопригодными, так как они излучают электромагнитную энергию и вследствие этого, а также в силу резко выраженного поверхностного эффекта обладают малой добротностью.

При сверхвысоких частотах в качестве устройства, выполняющего функции резонансного контура с высокой добротностью, применяют объемные резонаторы. Объемный резонатор представляет собой полый прямоугольный параллелепипед или полый металлический цилиндр с донышками. Стенки резонаторов выполняют из хорошо проводящего материала и полируют. Длины трех ребер прямоугольного резонатора и длина и радиус цилиндрического резонатора находятся, как и в волноводе, в определенных соотношениях с длиной волны и составляют несколько сантиметров. Резонатор возбуждают так же, как и волновод, например, с помощью стерженька или петли с током. В полости объемного резонатора возникают стоячие электромагнитные волны, так как со всех сторон полость ограничена хорошо проводящими стенками.

Качественно переход от обычного колебательного контура L, С к прямоугольному объемному резонатору иллюстрируют рисунок 5,а–г. На рисунке 5,а изображены две пластины конденсатора, соединенные двумя индуктивностями, на рисунке 5,б индуктивности заменены на дне полоски, на рисунке 5, в – на четыре полоски; на рисунке 5,г полоски заменены проводящими стенками.

Рисунок 5

При колебательном процессе в резонаторе энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и обратно. В прямоугольном и цилиндрическом резонаторах энергия каждого из полей распределена по всей полости резонатора. В других устройствах сверхвысоких частот (клистронах, магнетронах) энергии этих полей распределены преимущественно в различных областях. Так, в резонансной полости клистрона (рисунок 5, е) электрическое поле сосредоточено преимущественно в узком зазоре а (как бы в плоском конденсаторе), а магнитное связано с индуктивностью, роль которой выполняет полость резонатора, примыкающая к узкому зазору.

Под добротностью резонатора понимают . Здесь – энергия электромагнитного поля, запасенная в резонаторе; Р – активная мощность, затрачиваемая на потери от вихревых токов в стенках резонатора, на потери через щель в виде излучения, а если диэлектрик, имеющийся в полости резонатора, не идеальный, то и на потери в диэлектрике. Добротность достигает значения и более.

ТИПЫ ВОЛН В ВОЛНОВОДЕ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВОЛНОВОД. РЕШЕНИЕ ДЛЯ Н-ВОЛНЫ.

Процесс распространения электромагнитных волн в полости прямоугольного волновода будем рассматривать, полагая, что его стенки выполнены из сверхпроводящего материала (). При этом условии напряженность электрического поля на стенках волновода будет равна нулю (плотность тока на стенках волновода конечна, поэтому при ).

Полость волновода заполнена диэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого . Оси координат расположим в соответствии с рисунком 6,а. Размеры полости волновода в направлении оси x обозначим буквой a, а в направлении оси y – буквой b. Длина волновода в направлении оси z неограничена. Электромагнитное поле в волноводе описывается уравнением: или аналогичным ему уравнением .

Распространяющиеся в волноводе электромагнитные волны являются волнами, бегущими вдоль оси волновода (оси z) и стоячими в двух остальных направлениях. Стоячие волны в направлении x и y образуются вследствие многократных отражений волн от стенок волновода.

Тот факт, что волны являются бегущими вдоль оси z, в формально математическом отношении находит свое выражение в том, что при записи каждой из составляющих волн (подобно бегущим волнам в линии с распределенными параметрами) используется множитель , где – коэффициент распространения.

Рисунок 7

Волны, распространяющиеся в волноводах, разделяют на два типа: Н-волны и Е-волны. Н-волну называют также поперечно-электрической и обозначают ТЕ; Е-волну — поперечно-магнитной и обозначают ТМ. Кроме волн Н и Е могут быть еще волны ТЕМ. Они возникают в коаксиальном кабеле (не в волноводе) и полосковой линии. В волне ТЕМ векторы и лежат в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Структура Н-волны такова, что составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность магнитного поля, а напряженность электрического поля расположена в плоскости, перпендикулярной оси волновода, т. е. для Н-волны

; . (25)

Для Е-волны наблюдается обратная картина: составляющую вдоль оси волновода имеет только напряженность электрического поля, а векторы напряженности магнитного поля расположены в плоскостях, перпендикулярных оси волновода, т. е. для Е-волны.

; .

Какой из этих типов волн возникает, зависит от условий возбуждения и геометрических размеров поперечного сечения волновода. Если возбуждение производить с помощью штырька (см. рисунок 4, а), то в волноводе возникнут Н-волны. При возбуждении с помощью петли с током, расположенной вблизи узкой стенки волновода в соответствии с рисунком 4,б, в последнем возникают также Н-волны. Для Е-волны штырек следует направить вдоль оси z.

Приводимые далее выкладки проделаны для H-волны, но они будут почти такими же и для E-волны. Если подставить (25) в уравнение , то последнее разобьется на три уравнения для проекций. Для проекции на ось z будем иметь

. (26)

Воспользуемся методом разделения переменных. С этой целью положим

, (27)

где X – функция только x;

Y – функция только y.

Множитель свидетельствует о том, что вдоль оси z движется бегущая волна. Подставим (27) в (26):

. (28)

Обозначим

(29)

и разделим (28) на . Получим

. (30)

Сумма двух функций и , из которых одна является функцией только x, а другая – у, может равняться постоянному числу только тогда, когда каждая из этих функций есть постоянное число.

Перейдем от частных производных к обыкновенным и положим:

; (31)

, (32)

где p и q – некоторые постоянные числа.

Решением уравнений (31) и (32) являются функции

, ,

где , q и – постоянные интегрирования, которые найдем из граничных условий. Таким образом, в соответствии с (27)

. (33)

Здесь комплексная амплитуда .

Для определения значений p, q, φ, ψ обратимся к первому и второму уравнениям Максвелла, записанным через проекции напряженностей на оси координат:

; (34)

; (35)

; (36)

; (37)

; (38)

. (39)

В силу того, что для Н-волны , и поскольку волны являются бегущими вдоль оси z, то , а .

Из уравнений (37) и (38) следует, что

; . (40)

Как уже говорилось, на внутренних поверхностях стенок волновода
напряженность электрического поля равна нулю. Следовательно, при у = 0 и у = b, а при x = 0 и x = а. Если это учесть, то из уравнений (40) имеем и .

Так как , , а при у = 0 и у = b и при x = 0 и x = а, то из (34) и (35) следует:

; ; (41)

; . (42)

Уравнения (41), (42) служат для определения значений p, q, φ, ψ.

Подставив (33) в (41), найдем , . Из (42) определим и , где m и n — целые числа; m равно числу полуволн электромагнитной волны, которое разместится по ширине волновода; n показывает, сколько полуволн разместится по высоте волновода. Таким образом,

. (43)

Найдем теперь , и , . Для определения в уравнении (34) заменим на .

Тогда

.

Отсюда

, (44)

где

.

Аналогично

; (45)

; (46)

. (47)

Проанализируем полученные результаты. Коэффициент играет роль постоянной распространения электромагнитной волны вдоль оси z. Если будет действительным числом, то волна при своем продвижении по волноводу будет затухать. Затухание будет отсутствовать, если – мнимое число.

Для того чтобы связать с геометрическими размерами волновода а и b и числами m и n, подставим (43) в (26). Получим . Но . Поэтому

. (48)

Отсюда следует, что .

Угловую частоту, при которой называют критической угловой частотой

. (49)

Если , , где – скорость света в свободном пространстве. В этом случае можно записать так: , а .

Если угловая частота возбудителя колебаний (тока в стерженьке или петле рисунок 4) будет больше , то оказывается числом мнимым. Поскольку рабочая частота , то длина волны в свободном пространстве меньше критической длины волны в волноводе .

Числа m и n могут принимать целые значения, но не могут равняться нулю одновременно, так как тогда все составляющие Е и H отсутствовали бы. Наибольшее значение имеет волна m = 1 и n = 0 (волна ), для нее по ширине волновода укладывается одна полуволна, а по его высоте интенсивность поля не изменяется.

Амплитуда максимальной напряженности электрического поля , должна быть меньше пробивной напряженности поля, иначе произойдет пробой диэлектрика (воздуха, газа или какого-либо другого диэлектрика).

При любом способе возбуждения волновода вблизи возбудителя может возникать несколько различных типов волн. Для устранения на некотором расстоянии от излучателя высших типов волн, размеры а и b выбирают так, чтобы для низшего типа волн, например , при выбранной ω значение коэффициента распространения являлось мнимым числом, а для ближайшего высшего типа волн, например или , являлось числом действительным. В зависимости от длины волны размеры а и b берут равными и . Размеры а и b стандартизованы.

Под картиной поля в полости волновода понимают совокупность линий Е и линий H для выбранного типа поля. Картину поля строят либо в нескольких ортогональных плоскостях, либо объемную. Сначала целесообразно строить картину поля в плоскости хОу, так как у H-поля вектор расположен в плоскости хОу и имеет либо только одну, либо две проекции (в зависимости от типа волны), а у E-поля вектор в этой плоскости имеет тоже либо одну, либо две проекции. В плоскости хОу проекции линий H и линий Е пересекаются друг с другом под прямым углом. Картина поля для волны изображена на рисунке 6, а и б. Токи смещения в полости волновода переходят в токи проводимости по его стенкам (рисунок 7, а). При проводимости γ стенок волновода, стремящейся к бесконечности, напряженность поля Е на стенках волновода стремится к нулю, но плотность тока конечна. В действительности γ имеет конечное значение.

Рисунок 9

Для измерительных целей в стенках волновода делают щели (прореви), располагая их так, чтобы они не препятствовали протеканию по ним токов проводимости.

ВОЛНОВОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОЛНОВОДА. ФАЗОВАЯ И

ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ

Под волновым сопротивлением волновода понимают отношение комплексных значений взаимно перпендикулярных составляющих и . Так, для основной волны

(50)

Зависимость от для Н-волны изображена на рисунке 9, а (для волны ), а для Е-волны – на рисунке 9, в.

Рисунок 9

Скорость перемещения по волноводу неизменного фазового состояния бегущей волны принято обозначать . Чтобы определить ее, надо продифференцировать по t и учесть, что производная от постоянной величины равна нулю. Получим

(51)

Скорость направлена под углом к оси волновода.

Зависимость от частоты называют дисперсией. Так как < 1, то больше скорости света . Энергия вдоль оси волновода распространяется с групповой скоростью . Рисунок 9, б иллюстрирует связь между длиной волны в свободном пространстве , длиной волны в волноводе и групповой длиной волны ; представляет собой расстояние, на которое распространяется энергия вдоль оси волновода за одно колебание; и .

Для определения мощности Р, переносимой электромагнитной волной, распространяющейся по волноводу, следует подсчитать поток вектора Пойнтинга через поперечное сечение волновода.

В случае основной волны

Для волны

.

Рассмотрим влияние нагрузки на конце волновода на характер волновых процессов в нем.

Если сопротивление нагрузки на конце волновода не будет равно , то в волноводе кроме падающей возникает и отраженная волна. Если волновод на конце будет открыт, то часть мощности, переносимой падающей волной, будет излучаться в окружающее пространство, часть отразится обратно в волновод. Если на конце волновода поместить решетку из проводящих стержней (проволок), то влияние решетки на возникновение отраженной волны зависит от того, как расположены стержни (продольно или поперечно) по отношению к вектору волны. Когда стержни будут параллельны вектору , то в них возникают токи и большая часть падающей волны отражается обратно в волновод. Когда стержни решетки перпендикулярны линиям на конце волновода, они мало влияют на излучаемую мощность. Если на конце волновода установить сплошную металлическую перегородку, то это будет соответствовать режиму короткого замыкания на конце волновода. В этом случае вдоль волновода возникает стоячая волна с удвоенным значением Н на конце волновода. Согласованную нагрузку на конце волновода при небольших мощностях конструктивно выполняют, помещая в конце волновода клинообразную диэлектрическую пластину, покрытую тонким проводящим слоем (например, графитом). В этом случае отраженная волна почти отсутствует за счет клинообразной формы пластинки.

КОМПОНЕНТЫ Е-ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ВОЛНОВОДЕ

Волна имеет Е-компоненты по осям x, y, z и H-компоненты по осям х и у.

;

;

;

;

;

Простейшим представителем Е-волн является волна . На рисунке 10,а в трех проекциях изображена картина поля для волны . Сплошные линии соответствуют линиям Е, пунктирные, а также точки и крестики – линиям Н. На рисунке 10,б изображена объемная картина поля. Линии Е замыкаются по стенкам волновода. Мощность, передаваемая волной типа , определяется по формуле

Коэффициент для Е-волны подсчитывается по тому же выражению, что и для Н-волны.

Рисунок 11

Дата добавления: 2014-01-04