Радикал, логарифм и арксинус

Применим результаты к функциям (– целое положительное число), и . Для этого мы должны будем установить для каждой из этих функций области однолистности, т. е. такие области, в различных точках которых функция принимает различные значения. Таких областей можно найти бесчисленное множество.

Рассмотрим, например, функцию . Если , то поэтому не может равняться , если . Положим . Тогда

Это выражение может обратиться в нуль в том и только в том случае, если . Поэтому, если мы выберем область в виде полосы шириной со сторонами, параллель­ными действительной оси, то внутри неё, в двух различных точках и функция будет необходимо принимать различные значения. Аналогичным образом можно подобрать области однолистности и для других функций.

Мы возьмём сначала для функции область , для функции – область и для функции – область (Рис.44.1.а,б,в. ). Определим теперь вид областей, которые описываются переменными , в то время, когда точка описывает соответствующую область плоскости .

Рис.44 1.а.

Рис.44 1.б.

Рис.44 1.в.

Для примера рассмотрим функцию . Представляя её в виде ,

получаем: , откуда следует, что, в то время как точка описывает прямые , точка описывает ли­нии . Если (что в плоскости соответствует мнимой оси), то меняется , т. е. в плоскости мы получаем также мнимую ось .

Если же , то, исключая параметр , получаем уравнение гиперболы с полуосями ; при этом отрицательным значениям соответствуют левые ветви ги­пербол, а положительным – правые ветви, так как знаки и в силу уравнения совпадают. Когда изменяется то в плоскости мы получаем совокупность прямых , заполняющих собой всю вертикальную полосу, а в плоскости – совокупность ветвей гипербол , заполняющих область , которую можно получить, выбрасывая из плоскости vs части действи­тельной оси и (Рис.44.2.в.). Аналогично можно определить вид областей, описываемых точками . Последние две области будут одинаковы, они со­стоят из всех точек плоскости , не принадлежащих положительной части действительной оси (Рис.44 2.а, б.).На основании п. 8 в каждой из указанных областей определена соответствующая обратная функция. Именно в области – функция (радикал), обратная по отношению к функции , и функция (логарифм), обратная по отношению к функции в области – функция (арксинус), обратная по отношению к . Все эти функции являются аналитическими в соответствующих областях, причем производные от них вычисляются по формулам, совпадающим с формулами, известными для действительных значений переменных

.

Рис.44.2.а, б. Рис.44 1.б.

Рис.44.2.в.

Дата добавления: 2014-01-04