Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенные ряды.

Степенным рядом называется ряд вида
где некоторые действительные (или комплексные) числа, называемые коэффициентами ряда, - действительная переменная.

Придавая переменной определённое числовое значение мы получим числовой ряд который поможет быть сходящимся или расходящимся.Точка называется точкой сходимости ряда в первом случае и точкой расходимости - во втором. Совокупность всех числовых значений, при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости. Область сходимости степенного ряда содержит всегда точку.

Область сходимости степенного ряда характеризуется следующей теоремой.

Теорема 54. (Теорема Абеля) Если степенной ряд
сходится при, то он сходится при всех значениях, удовлетворяющих неравенству.

Доказательство. По условию ряд
сходится. Следовательно, по необходимому признаку сходимости
Отсюда следует, что величина ограничена сверху, т.е. найдется такое число, что для всех выполняется неравенство. Пусть. Тогда
и, следовательно,

для всех Т. о. модуль каждого члена ряда

не превосходит соответствующего члена сходящегося ряда бесконечно убывающей () геометрической прогрессии. Поэтому по признаку сравнения при ряд сходится.

Следствие 1. Если ряд

расходится при, то он расходиться и при всех, удовлетворяющих неравенству.

Доказательство. Действительно, если допустить сходимость ряда в точке для которой, то по теореме Абеля ряд сходится при всех, для которых, и, в частности, в точке, что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует, что если – точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости, а при всех значениях вне этого интервала, ряд расходится. Интервал называемой интервалом сходимости степенного ряда. Положив, интервал сходимости можно записать в виде.

Число называют радиусом сходимости степенного ряда. Т. е. – это такое число, что при всех ряд сходится, а при всех ряд расходится. На концах интервала сходимости сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда

составим ряд из модулей этого ряда

По признаку Даламбера

в точке. Ряд сходится, если

т. е.

Обозначим

Аналогично, используя радикальный признак Коши, получим формулу

Замечание 1. Если, то ряд сходится на всей числовой оси и считают, что.

Замечание 2. Если степенной ряд содержит не все степени, то интервалом сходимости находят непосредственно применяя признак Даламбера или Коши.

Использование степенных рядов для приближенных вычислений.

Непрерывные, дифференцируемые бесконечное число раз, функции можно раскладывать в ряды Тейлора и Маклорена, которые сходятся в некоторой области. Так

Ряд сходится для следующих значений

Если 0, то для

Если, то для.

Если, то для

Пусть требуется вычислить значение при с точностью

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

и,, то точное значение равно сумме этого ряда

a приближенное – частичной сумме

Точность вычислений увеличиваются с ростом. Абсолютная погрешность будет равна, где

Для знакочередующихся рядов. В остальных случаях, когда ряд знакочередующийся или положительный, составляют ряд из модулей и для него стараются найти положительный ряд с большими числами, который легко суммируется. (Обычно это бывают геометрические прогрессии). В качестве оценки принимают величину остатка нового ряда.

Что бы вычислить определенный интеграл, подынтегральную функцию разлагают в степенной ряд, так что бы область интегрирования входила в интервал. Интеграл от функции заменяют интегралом от соответствующего степенного ряда и вычисляют его с заданной точностью.

Дата добавления: 2014-01-04