КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Тема 3.1 Термонапряжения при индукционном нагреве. Постановка задачи. Алгоритм решения МКЭ
Лекция 13 Последнее выражение перепишем в виде (25)
Среди различных численных методов решения механических задач (МКГ, МКР) в данном случае выбор делается в пользу метода конечных элементов, поскольку он выгодно отличается от остальных. Расчет электродинамических усилий, перемещений и концентрации напряжений в элементах конструкций сводится к определению компонентов векторов перемещений точек тела , (1) деформаций (2) и напряжений , (3) где символ «Т» означает операцию транспонирования матриц. Все эти неизвестные являются функциями координат точек тела. Отметим, что представление напряжений и деформаций (как и некоторой совокупности скалярных величин) в виде многомерных векторов, составленных из компонентов тензоров – удобный прием вычислительной математики, позволяющий использовать аппарат матричной алгебры. По существу, конечно, оно не имеет физического обоснования и справедливо только при неизменной системе координат, поскольку компоненты напряжений и деформаций образуют тензоры. В статической задаче компоненты вектора напряжений должны удовлетворять уравнениям равновесия (4) где ,,– компоненты вектора массовых сил. Три других уравнения равновесия в виде сумм моментов внутренних сил относительно координатных осей приводят к известным условиям парности касательных напряжений . Для точек, лежащих на поверхности тела, компоненты напряжений должны обеспечивать выполнение краевых условий , (5) где ,,– компоненты вектора внешних поверхностных нагрузок; l, m, n - направляющие косинусы единичной нормали к поверхности тела. Компоненты вектора перемещений однозначно связаны с компонентами вектора деформаций соотношениями Коши:
, , , , , . (6) Эти уравнения, справедливые для малых деформаций, выражают условия сплошности тела. На той части поверхности тела, где заданы перемещения, функции удовлетворяют кинематическим граничным условиям вида (7) где – известные функции координат. Заметим, что поверхности и должны образовывать полную поверхность (S) тела, то есть . Замкнутая система уравнений краевой задачи получается из уравнений (4)-(7), дополненных физическими уравнениями, связывающими векторы напряжений и деформаций . Последние строятся на основе физических и математических моделей конструкционных материалов. Интегральную формулировку задачи можно получить, например, на основе принципа возможных перемещений, согласно которому в состоянии равновесия работа всех внешних и внутренних сил на соответствующих им возможных перемещениях равна нулю: , (8) где первое слагаемое представляет собой вариацию потенциальной энергии деформации, второе – работу внешних поверхностных и объемных сил, то есть . (9) Выполнение принципа возможных перемещений равносильно выполнению дифференциальных уравнений равновесия (4), а также краевых условий (5) и (7). Уравнения сплошности в форме (6) предполагаются выполненными. Остается дополнить уравнение (8) физическими уравнениями. Непосредственно из принципа возможных перемещений можно получить вариационный принцип Лагранжа в виде , (10) где Э – полная потенциальная энергия тела, определяемая как разность между работой внутренних и внешних сил. В осесимметричной задаче данной теории рассматривается тело вращения (рис. 1), внешние нагрузки на котором (а также температура) симметричны относительно его оси.
Рис..1 Тело вращения с внешними нагрузками, симметричными относительно его оси При этом перемещения, деформации и напряжения также симметричны относительно оси и являются функциями двух координат. Векторы деформаций и напряжений в осесимметричной задаче имеют вид
, (11) , (12) где верхний индекс «Т» означает операцию транспонирования. Соотношения Коши записываются в форме , (13) где u, w – компоненты перемещений, r – текущий радиус. Для изотропного материала уравнения упругости принимаются в виде , (14) где матрица упругости ; (15) вектор дополнительных деформаций . (16) Если эти деформации температурные, то . (17) В соотношениях (15)-(17): Е, - упругие постоянные материала; - коэффициент линейного температурного расширения; - перепад температур. Для некоторого осесимметричного конечного элемента с вершинами i, j, m (рисунок) вектор искомых узловых перемещений имеет следующую структуру , (18) а перемещения точек внутри элемента представляются в виде: , (19) где матрица функций формы элементов: и т.д., (20) где – площадь элемента, а коэффициенты , , и другие ()определяются с помощью зависимостей типа . (21) Вектор деформаций выражается через вектор узловых перемещений с помощью зависимости , (22) в которой матрица градиентов , как и в плоской задаче, состоит из трех блоков , (23) каждый из которых имеет структуру типа , . (24) Однако, в отличие от плоской задачи, здесь зависит от координаты r, следовательно, деформации внутри конечного элемента в общем случае не будут постоянными. Теперь с помощью соотношения (23) выразим напряжения (14) в конечном элементе через узловые перемещения. Получим . (25) Система разрешающих уравнений МКЭ для осесимметричной задачи имеет тот же вид, что и для объемной, то есть , (26) где матрица жесткости в конструкции в целом описывается как ; (27) - число элементов; - объем элемента. Вектор узловых сил, как и в плоской задаче, получается суммированием по всем элементам: , (28) то есть векторов узловых сил, эквивалентных внешним объемным и поверхностным нагрузкам, а также дополнительным деформациям . Эти векторы, отнесенные к конечным элементам (n = 1, 2,…, NЭ), находятся из следующих соотношений: , (29) , (30) , (31) где матрицы распределенных объемных и поверхностных нагрузок имеют соответственно следующую структуру: ; . (32) В осесимметричной задаче, как и в плоской, матрица жесткости конечного элемента имеет вид
. (33) Однако матрица градиентов в данном случае зависит от координат, что осложняет интегрирование уравнения (33). В практических расчетах рассматриваемый интеграл можно вычислить приближенно, определив матрицы и для центра тяжести конечного элемента с координатами , . (34) С учетом этого, а также соотношения , из (30) найдем . (35) Аналогичным образом могут быть найдены и приближенные значения векторов узловых сил (26)-(28). Опыт показывает, что при достаточно мелкой сетке конечных элементов рассмотренный прием обеспечивает приемлемую точность вычислений. Отметим, что точный расчет интегралов (26)-(30) уравнений может быть выполнен с помощью L -координат.
Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 236; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |