Непрерывный аннуитет

Предположим, что в течение каждого периода денежные по­ступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой беско­нечно малые величины. В этом случае аннуитет считают непре­рывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денеж­ных единиц в единицу времени. Соотношения, характеризую­щие непрерывный аннуитет, можно вывести из формул для р -срочного аннуитета, переходя в них к пределу при и несколько модифицируя величину А члена аннуитета. Ясно, что непрерывно не может поступать величина А, так как через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег. Формально это видно, например, из (7.12). Если в этом равенстве , то будущая стоимость ан­нуитета будет неограниченно возрастать. Пусть в конце каждого периода р -срочного аннуитета суммарная величина денежных поступлений равна , тогда каждое поступление будет равно и формула (7.12) запишется в виде

Отсюда получим формулу оценки будущей стоимости непре­рывного аннуитета:

(7.51)

Такую же формулу получили бы, воспользовавшись соотно­шением (7.33), так как в непрерывном случае исчезает разница между аннуитетами постнумерандо и пренумерандо.

Приведенная стоимость этого непрерывного аннуитета со­ставит:

(7.52)

Пример:

В течение 6 лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 40 тыс. тенге. Определить сумму, накопленную к концу шестого года при ис­пользовании процентной ставки 12% годовых.

Считая, что платежи поступают непрерывным образом, вос­пользуемся формулой (7.51):

тыс. тенге.

Сравним этот результат со значением, полученным по фор­муле (7.12), полагая в году 360 дней. Обозначая р = 360, , получим:

тыс. тенге.

Видим, что полученные величины отличаются незначительно. Если проценты начисляются раз за период, то, пользуясь (7.14), получим:

(7.53)

Вычисляя в правой части равенства (7.53) предел при , находим будущую стоимость непрерывного аннуитета:

(7.54)

где - сила роста при непрерывном начислении процентов.

Формулу (7.54) можно было получить из (7.14), определяя вначале предел при (т.е. переходя к непрерывному на­числению процентов), а затем определяя предел при (т.е. переходя к непрерывным денежным поступлениям). Умножая , получим приведенную стоимость непрерывного аннуитета с непрерывным начислением процентов:

(7.55)

Приведенная стоимость отсроченного на периодов аннуи­тета составит:

(7.56)

Нетрудно видеть, что

поэтому приведенная стоимость отсроченного аннуитета равна разности приведенных стоимостей немедленных аннуитетов.

Используя эквивалентные ставки, можно получить и другие соотношения и показать связь формул между собой. Например, полагая из (7.54) получим (7.51) и т.д.

Если непрерывный аннуитет является бессрочным, то из (7.55) при (естественно, учитывая, что ), получим:

(7.57)

Дата добавления: 2014-01-04