Алгебра линейных операторов

Определение 1. Суммой линейных операторов A и B называется такой оператор, обозначаемый через A + B, который каждому вектору x пространства V ставим в соответствие вектор A x + B x, т.е.

(A + B) x = A x + B x.

Покажем, что A + B – линейный оператор. В силу замечания 1 из § 1 для этого достаточно показать, что для любых векторов x ₁, x ₂ из V и любых скаляров a₁, a₂ из поля P имеет место равенство

Имеем

Таким образом, A + B – линейный оператор.

Пусть L (V) – множество всех линейных операторов пространства . Легко проверить следующие свойства, которые справедливы для любых операторов A, B из L (V):

Свойство 1⁰ и 2⁰ проверяются обычным образом. Оператор O определяется формулой O (x)= ô для любого x из V и называется нулевым оператором. Оператора –определяется формулой и называется противоположным к . Ясно, что . Свойства 1⁰–4⁰ означают, что относительно операции сложения L (V) – абелева группа.

Определение 2. Произведением линейного оператора на числа называется оператор l A, определенный для любого следующей формулой:

.

Легко проверить, что l A – линейный оператор и что для любых A, B из L (V) и a, b из P выполнены следующие равенства:

Соотношение 1⁰–8⁰ показывает, что множество L (V) всех линейных операторов пространства V над полем само является векторным пространством над тем же полем относительно операции сложения операторов и умножения их на число.

Дата добавления: 2014-01-04