Свойства собственных векторов и собственных значений линейных операторов

1⁰ . Любой собственный вектор x линейного оператора A отвечает только одному собственному значению.

□ В самом деле, если A x= l₁ x и A x= l₂ x, то (l₁–l₂) x = ô и l₁=l₂. ◘

2⁰ . Множество P (l) всех собственных векторов линейного оператора A, отвечающих собственному значению l, вместе с нулевым вектором ô является подпространством пространства V.

□ Пусть x ₁, x ₂ Î P (l)⁰ = P (l) È{ ô }. Тогда A x ₁=l x ₁, A x ₂ =l x ₂ и в силу линейности оператора A имеем: A (x ₁+ x ₂) = A x ₁+ A x ₂=l x ₁+l x ₂=l(x ₁+ x ₂). Отсюда (x ₁+ x ₂ ) Î P₀ (l). Далее при любом aÎ P имеем A (a x ₁)= a A x ₁= a(l x ₁)= l(a x ₁), т.е. a x ₁ Î P (l)⁰. Таким образом, P (l)⁰ £ V. ◘

Условимся подпространство P (l)⁰ называть корневым подпространством, отвечающим собственному значению l.

3⁰ . Если e ₁, e ₂ ,…, e_k – собственные векторы линейного оператора A, отвечающие попарно различным собственным значениям l₁, l₂, …, l _k, то векторы e ₁, e ₂ ,…, e_k линейно независимы.

□ Применим индукцию по числу k. Для k =1 это свойство очевидно. Пусть k > 1. Предположим, что это свойство доказано для k– 1 векторов и докажем его для k векторов. Предположим противное, т.е. что векторы e ₁, e ₂ ,…, e_k линейно зависимы. Тогда справедливо равенство

a₁ e ₁ + a₂ e ₂ + …+ a _ke_k = ô. (1)

Причем хотя бы один из коэффициентов, например, a₁ отличен от нуля. Применив к обеим частям равенства (1) оператор A, получим

a₁ A e ₁ + a₂ A e ₂ + …+ a _k A e_k = ô. (2)

Так как A e_i = l _ie_i (i =1,2,…, k), равенство (2) можно переписать в виде

a₁ l₁ e ₁ + a₂ l₂ e ₂ + …+ a _k l _k e_k = ô. (3)

Вычитая из равенства (3) равенство (1), умноженное на l _k, получим равенство

a₁(l₁ –l _k) e ₁ + a₂(l₂ –l _k) e ₂ + …+ a _{k -1}(l _{k -1} –l _k) e _{k -1} = ô, (4)

где первый коэффициент a₁(l₁ –l _k) по-прежнему отличен от нуля, так как a₁¹ 0 и l₁ –l _k ¹ 0 (напомним, что по условию l₁ ¹l _k). Равенство (4) означает линейную зависимость векторов e ₁, e ₂ ,…, e_{k -1} , что противоречит предположению.

Таким образом, система собственных векторов e ₁, e ₂ ,…, e_k линейно независима при любом натуральном k. ◘

Определение 2. Пусть A – линейный оператор пространства V. Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно оператора A, если образ L при операторе A содержится в L, т.е. A L Í L, или поэлементно: (" x Î L) A x Î L.

Тривиальными инвариантными подпространствами относительно любого линейного оператора являются нулевое подпространство и все пространство V.

4⁰ . Для того чтобы ненулевой вектор x пространства V был собственным вектором линейного оператора A необходимо и достаточно, чтобы его линейная оболочка L (x) была инвариантным подпространством относительно оператора A.

□ Þ Пусть A x = l x и y Î L (x). Тогда y = a x для некоторого aÎ P и A y = =A (a x)= a A x = a(l x)= (la) x, т.е. A y Î L (x). Последнее означает, что L (x) – инвариантным подпространством относительно оператора A.

Ü Обратно, пусть для любого y из L (x) вектор A y принадлежит L (x). Тогда A x =l x для некоторого lÎ P, т.е. x – собственный вектор оператора A. ◘

Дата добавления: 2014-01-04