Выражение матриц ориентации твердого тела через самолетные и корабельные углы

.

Ordm;. Физический смысл углов Эйлера

Ordm;. Схема ввода углов ориентации

Определение

.

Теорема доказана.

Углы , введенные при построении матрицы ориентации в доказательстве теоремы Эйлера, называются углами Эйлера.

Знание углов Эйлера в любой момент времени при движении твердого тела позволяет вычислить матрицу ориентации твердого тела на данном движении.

Доказательство теоремы Эйлера позволяет сформулировать простые правила и построить схему ввода углов Эйлера.

Правила и схему легко обобщить на случай ввода любых других трех независимых угловых величин, по которым может быть однозначно вычислена матрица ориентации.

Пусть в момент времени известны углы Эйлера . Перенумеруем оси в любой декартовой прямоугольной системе координат.

Будем называть осью 1, — осью 2, — осью 3.
Соответственно, — это также ось с номером 1, — ось с номером 2, —ось с номером 3 в связанной системе.

Обозначим систему координат, совпадающую в момент времени с абсолютной системой .

Покажем, как, зная углы , с помощью трех последовательных поворотов системы можно совместить ее со связанной системой .

Процесс совмещения будем проводить в три этапа.

На первом этапе повернем систему вокруг третьей оси, т.е. вокруг оси , так, чтобы ось совпала с линией узлов. Это значит, что между новым положением оси и старым образовался угол .

Новое положение системы обозначим . Произведенное нами действие сформулируем в виде первого правила:

«Первый поворот совершается вокруг оси 3 на угол ».

Схематически действие по такому правилу обозначим:

Цифра 3 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот на угол на первом этапе.

На втором этапе повернем систему вокруг оси (т.е. вокруг оси 1) так, чтобы ось совпала с положением оси связанной системы.

Поставленная цель достигается поворотом на угол вокруг линии узлов . Новое положение осей обозначим .

Описанное действие формулируется в виде второго
правила:

«Второй поворот совершается вокруг оси 1 на угол ».

Действие по правилу 2 схематически изобразим по аналогии с действием по правилу 1:

Цифра 1 внутри круга указывает номер оси, вокруг которой происходит поворот на угол на данном этапе.

Поскольку действие по правилу 2 производится только после того, как сделан поворот на угол на первом этапе, то, объединяя последовательность двух поворотов в единую схему, получим:

Здесь стрелка указывает на то, что поворот вокруг оси 1 на угол осуществляется после поворота вокруг оси 3 на угол .

На третьем этапе систему , полученную из двумя первыми поворотами на углы и , повернем вокруг оси (оси 3) так, чтобы она совместилась полностью с окончательным положением осей .

Совмещение осей будет достигнуто, если повернем систему на угол .

Из описанных действий следует, что система координат , совпадающая в момент времени с абсолютной системой , может быть совмещена с угловым положением связанной системы с помощью трех последовательных поворотов на конечные углы вокруг одной из координатных осей промежуточных систем координат.

Каждая промежуточная система строится из предшествующей системы координат поворотом на один из перечисленных углов.

На последнем, третьем этапе действий необходимо
руководствоваться правилом:

«Третий поворот совершается вокруг оси 3 на угол ».

Схематически этап 3 можно представить так:

В расшифровке предложенная схема означает, что поворот координатных осей должен проводиться вокруг оси 3 на угол из положения, которое система достигла после поворота вокруг оси 1 на угол .

Объединяя схемы действий, описанных на каждом этапе процесса перевода системы в положение связанной системы , задаваемое в момент времени углами Эйлера , приходим к следующей общей схеме такого перехода:

Она называется схемой ввода углов ориентации. В данном контексте она отражает схему ввода углов Эйлера.

Поясним физический смысл углов Эйлера. Рассмотрим их на примере движения волчка.

Наблюдения показывают, если пренебречь трением опоры волчка, то ось симметрии волчка совершает следующее движение.

Обозначим — конец орта оси симметрии, начало системы координат — , а — проекцию точки на плоскость .

Точка находится в плоскости во все время движения, причем, если конструктивно волчок выполнен точно (т.е. является симметричным относительно оси вращения, и все его массы расположены симметрично), то точка движется по окружности.

Радиус окружности равен , где — угол между осями и (см. рис. 3.4.5).

Об этом движении говорят, что волчок совершает
прецессию.

Точнее говоря, прецессией волчка называют вращение вокруг вертикальной оси плоскости, проходящей через эту ось и ось симметрии волчка.

Если симметрия волчка конструктивно нарушена, то точка одновременно с прецессией, т.е. вращением вокруг полюса в плоскости , совершает колебательное движение между двумя окружностями радиуса и (см. рис. 3.4.6).

Рис. 3.4.5 Рис.3.4.6

Здесь — минимальное значение угла , а — максимальное. Иначе говоря, — колебательная функция. Такое движение волчка называется его нутационным колебанием.

Все остальные материальные точки волчка, расположенные вне оси симметрии, по отношению к этой оси совершают круговые движения по углу . Их движения называется собственным вращением волчка.

Таков физический смысл углов Эйлера. Отсюда они получили название:

– угол прецессии, ;

– угол нутации, ;

– угол собственного вращения, .

4º. Построение углов Эйлера
по заданной матрице ориентации

Дадим ответ на следующий вопрос:

если матрица задана, то можно ли определить углы Эйлера по ее элементам?

Матрица имеет вид:

Из третьего столбца матрицы находим

, , .

Из третьей строки матрицы получим

, .

Эти соотношения справедливы только в том случае, когда , т.е. при и .

При и матрица , соответственно, принимает вид:

;

.

Из данных выражений матрицы можно вычислить по первому столбцу при только угол и угол при .

Эта особенность принципиальная, ибо при и при плоскости и совпадают, и понятие линии узлов отсутствует.

В такой ситуации в качестве линии узлов можно взять любую прямую, находящуюся в плоскости .

И если по общему правилу задать углы и относительно линии узлов, то по этим углам однозначно будут вычисляться элементы матрицы , поскольку положение осей по отношению к при определяется суммой углов , а при — разностью углов .

Однако обратная задача — задача определения значений углов Эйлера по элементам матрицы — не будет иметь решения, поскольку углы и не могут быть вычислены при и .

Дата добавления: 2014-01-04