Логнормальное свойство цен акций

Ключевые понятия

Модель Блэка-Шоулза-Мертона

Логонормальное распределение

Распределение ставки доходности

Ожидаемая доходность

Волатильность

Уравнение Б-Ш-М

Риск-нейтральная оценка

Варранты

Подразумеваемая волатильность

Аппроксимация Блэка

В начале 1970-х годов Фишер Блэк (Fisher Black), Майрон Шоулз (Myron Scholes) и Роберт Мертон (Robert Merton) сделали фундаментальное открытие в теории ценообразования фондовых рынков[1]. Этот результат известен как модель Блэка-Шоулза (модель Блэка-Шоулза-Мертона). Эта модель оказала огромное влияние на способы, с помощью которых трейдеры устанавливают цены и хеджируют опционы. Кроме того, эта модель дала сильный толчок к развитию финансовой инженерии [2] в течение последних двадцати лет. В 1997 году за создание этой модели Мертон и Шоулз получили Нобелевскую премию в области экономики. К прискорбию, Фишер Блэк умер в 1995 году, иначе бы он, без сомнения, также оказался бы в числе лауреатов.

В лекции описывается процесс создания модели Блэка-Шоулза, предназначенной для оценки европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций. В ней показано, как оценить волатильность на основе ретроспективных данных или цен опционов. Будет также продемонстрировано применение риск-нейтральной модели, описанной в лекции 12. Мы покажем также, как применить модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов на покупку и продажу акций, предусматривающих выплату дивидендов, а также для оценки соответствующих американских опционов.

Модель поведения цены акции, использованная Блэком, Шоулзом и Мертоном, описана в лекции 13. Она основана на предположении, что изменения цены акции в течение короткого периода имеют нормальное распределение. Введем следующие обозначения:

µ - ожидаемая годовая доходность акции;

σ – годовая волатильность цены акции.

Математическое ожидание относительного изменения цены акции в течение времени Δt равно µΔt, а ее стандартное отклонение - . Следовательно:

~ø (14.1)

где Δ S – изменение цены акции S за время Δt, а ø(µ,σ) – нормальное распределение с математическим ожиданием µ и стандартным отклонением σ.

Как показано в разделе 13.6, из этого следует, что:

~ ø

Таким образом,

~ ø (14.2)

и

ø (14.3)

Здесь S_T – это цена акции в момент Т, а S₀ – цена акции в нулевой момент времени. Из равенства (14.3) следует, что величина ln S_T имеет нормальное распределение. Это значит, что цена акции S_T подчиняется логонормальному распределению. Математическое ожидание случайной величины ln S_T равно ln S₀ + (µ - σ²/2)T, а стандартное отклонение –

Дата добавления: 2014-01-04