Вывод дифференциального уравнения Б-Ш-М

Допущения

При выводе дифференциального уравнения Б-Ш-М используются следующие допущения.

1. Цена акции подчиняется стохастическому процессу, описанному в лекции 11, где µ и σ – константы.

2. Разрешается продавать ценные бумаги без покрытия и использовать вырученные суммы в полном объеме.

3. Транзакции выполняются бесплатно, налоги не учитываются. Все ценные бумаги допускают неограниченное деление.

4. На протяжении срока действия дериватива дивиденды не выплачиваются.

5. Арбитражные возможности, свободные от риска, отсутствуют.

6. Торговля ценными бумагами происходит непрерывно.

7. Безрисковая процентная ставка r является постоянной для всех сроков погашения.

Как указывалось в прошлых лекциях, некоторые из этих условий можно ослабить. Например, величины σ и r. могут быть известными функциями, зависящими от t. Можно даже разрешить случайные изменения процентных ставок, при условии, что цена акции в момент завершения опциона остается логнормальной.

Будем считать, что цена акции описывается стохастическим процессом, выведенным в разделе 13.3.

(14.8)

Пусть f – цена опциона «колл» или другой производной ценной бумагой, основанной на акции с ценой S. Они должны зависеть от переменных S и t. Итак, из уравнения (13.14) следует, что:

(14.9)

Дискретные варианты уравнений (14.8) и (14.9) имеют следующий вид:

(14.10)

(14.11)

Здесь ΔS и Δf – изменения функций f и S на малом интервале времени Δt. Напомним, что функции f и S описываются одними и теми же винеровскими процессами. Иначе говоря, в уравнениях (14.10) и (14.11) величина Δz(=) принимает одно и то же значение. Отсюда следует, что виненровский процесс можно исключить, правильно подобрав состав инвестиционного портфеля, состоящий из акций и дериватива.

В частности, приемлемым является следующий портфель:

- 1: дериватив,

акции.

Владелец такого портфеля занимает короткую позицию по одному деривативу и длинную позицию по акциям. Обозначим стоимость портфеля через П. По определению,

(14.12)

Приращение ΔП стоимости портфеля на интервале времени Δt описывается следующей формулой:

(14.13)

Подставляя уравнения (14.10) и (14.11) в уравнение (14.13), получаем:

(14.14)

Поскольку это выражение не содержит величину Δ z, портфель на протяжении интервала времени является безрисковым. Из предположений, перечисленных в начале раздела, следует, что этот инвестиционный портфель непрерывно обеспечивает доходность на уровне той же безрисковой процентной ставки, что и другие безрисковые краткосрочные ценные бумаги. Если бы инвестор мог получить больше, арбитражеры могли бы извлечь прибыль, свободную от риска, заняв деньги, чтобы купить этот портфель. Если же прибыль инвестора была бы меньше, арбитражеры извлекли бы прибыль, свободную от риска, продав портфель без покрытия и купив безрисковые ценные бумаги. Следовательно,

(14.15)

где r – безрисковая процентная ставка. Подставляя в равенство (14.15) величины из уравнений (14.12) и (14.14) получаем:

так что

(14.16)

Уравнение (14.16) называется дифференциальным уравнением Блэка-Шоулза-Мертона. Оно имеет много решений, соответствующих всевозможным производным ценным бумагам, которые можно определить для цены акции S. Для выделения из этого множества конкретного дериватива используются краевые условия по переменным S и t. Например, для европейского опциона «колл» краевое условие имеет вид:

при t = T.

Для европейского опциона пут краевое условие имеет вид:

при t = T.

Следует подчеркнуть, что инвестиционный портфель, использованный при выводе уравнения (14.16), не всегда является свободным от риска. Он является безрисковым только на бесконечно малых промежутках времени. При изменении переменных S и t производная тоже изменяется. Чтобы сохранить портфель свободным от риска, необходимо постоянно изменять пропорции производных ценных бумаг и акций, входящих в него.

Дата добавления: 2014-01-04