Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат

Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат [r]_j^’ устанавливает связь между единичными перемещениями и усилиями в узловых точках, для горизонтально расположенного элемента.

Как уже отмечалось, основная система МКЭ представляет собой совокупность отдельных стержней, которые соединяются между собой жестко или с помощью шарнира.

Следовательно, все многообразие КЭ можно свести к трем типам элементов:

а) элемент с двух сторон ограниченный жесткими узлами, такой элемент имеет шесть степеней свободы, т.е. неизвестными являются шесть возможных перемещений узловых точек элемента

б) элемент с одной стороны ограниченный жестким узлом, а с другой шарнирным, такой элемент имеет пять степеней свободы

г) элемент с двух сторон ограниченный шарнирными узлами, такой элемент имеет четыре степени свободы

Рассмотрим формирование матриц жесткости для показанных выше трех типов КЭ, в местной системе осей координат.

Для элемента с шестью степенями свободы (тип а) матрица жесткости будет иметь вид

[r]_j^’=

где r₁₂^’ - реактивное усилие в связи 1 от единичного перемещения связи 2 и т.д.

В блочном виде матрица [r]_j^э будет иметь вид

[r]_j^’=

где r_нк^’ - блок реакций в связях, наложенных на начальный узел, от единичных перемещений связей, наложенных на конечный узел КЭ и т.д.

Численные значения реакций будем определять используя таблицы метода перемещений. Знак реакций будет положительным, если направление реакций совпадает с положительным направлением перемещений V_j.

1.Формирование матрицы жесткости для элемента с шестью степенями свободы (тип а)

Зададим последовательно единичные перемещения связям V₁=1, V₂=1...V₆=1.

1) V₁=1

В соответствие с законом Гука

Dl = Dl = V₁ = 1, N =

2) V₂=1

3) V₃=1

и т.д. задаем V₄ = 1, V₅ = 1, V₆ = 1

Расставляя реакции в соответствующие ячейки, получим матрицу жесткости для элемента с шестью степенями свободы

[r]_j^’ =

Запишем матрицы жесткости для двух других типов элементов, формируя их аналогично предыдущей.

2. Матрица жесткости для элемента с пятью степенями свободы (тип б) будет иметь вид

[r]_j^’ =

3. Матрица жесткости для элемента с четырьмя степенями свободы (тип в) запишется

[r]_j^’ =

Дата добавления: 2014-01-04