Матрица жесткости для сооружения в целом

Матрица преобразований (направляющих косинусов)

Рассмотрим теперь КЭ в составе рамы, расположенный под углом a к оси Х в общей системе осей координат.

Необходимо перейти от матрицы реакций [r]^’_j в местной системе осей координат к матрице [r] в общей системе координат.

Задачу решаем следующим образом. В начале построим матрицу [c]_j, которая преобразует перемещения КЭ {z}_j в общей системе осей координат в перемещения {v}_j, по выражению

{v}_j = [c]_j {z}_j

V₁ = Z₁ cosa + Z₂ sina

V₂ = -Z₁ sina + Z₂ cosa

V₃ = Z₃

V₆ = Z₆

V₄ = Z₄ cosa + Z₅ sina

V₅ = -Z₄ sina + Z₅ cosa

В матричной форме приведенная выше запись будет иметь вид

или в блочной форме

[c]_j =

где для жесткого узла

[c]_н,к =

для шарнирного узла

[c]_н,к =

Так как мы рассматриваем плоские упругие системы, то векторы узловых усилий и узловых перемещений, как для отдельного элемента, так и для сооружения в целом, связаны между собой линейно

{S}_j^’ = [r]_j^’{V}_j - в местной системе осей координат.

{S}_j = [r]_j {Z}_j - в общей системе осей координат

Кроме того

{V}_j = [c]_j{Z}_j,

Аналогично

{S}_j^’ = [c]_j{S}_j,

где {S}^’,{S}-узловые усилия КЭ соответственно, в местной и общей системах осей координат.

Тогда

{S}_j = [c]_j^-1 {S}_j^’ = [c]_j^-1[r]_j^’{V}_j = [c]_j^-1[r]_j^’[c]_j{Z}_j.

Для матрицы направляющих косинусов выполняется равенство

[c]_j^-1 = [c]_j^T,

Тогда {S}_j = [c]_j^T [r]_j^’ [c]_j{Z}.

Обозначим

[r]_j = [c]_j^T [r]_j^’ [c]_j - это выражение и является формулой для вычисления матрицы жесткости КЭ в общей системе осей координат.

При формировании матриц жесткости отдельных элементов [r]_j^’ должны быть зафиксированы начало и конец каждого стержня, так как от этого зависит знак угла a, определяющего ориентацию стержня в общей системе осей координат ХОY.

Рассмотрим теперь как формируется матрица жесткости для сооружения в целом, когда имеются матрицы жесткости для всех отдельных элементов.

Пусть задана какая-либо стержневая система

Все узлы будем считать жесткими, т.е. с каждым из них связано по 3 возможных перемещения.

Матрицу жесткости для всего сооружения покажем в блочном виде, с размерами блоков 3x3, т.к. с каждым узлом связано по 3 возможных перемещения (горизонтальное, вертикальное и поворот узла).

здесь r₁₂ - первый индекс указывает номер узла, в котором возникает блок реакций,а второй - номер узла, смещением которого эти реакции вызваны. Нулевые блоки обозначают, что соответствующие узлы не связаны непосредственно стержнем и прямо не взаимодействуют, т.е. не передают реакции с узла в узел.

Общая матрица жесткости [r] получается путем суммирования соответствующих блоков матриц жесткости отдельных стержней.

Например, первая строка блочной матрицы [r] получена путем суммирования блоков матриц жесткости отдельных элементов

r₁₁ = r₁₁¹+r₁₁², r₁₂ = r₁₂¹, r₁₄ = r₁₄³ и т.д.

Дата добавления: 2014-01-04