Условная вероятность безотказной работы восстанавливаемых в процессе эксплуатации систем

Надежность восстанавливаемых систем (объектов) второй группы (отказы системы недопустимы, возможен ремонт некоторых элементов во время выполнения задачи) чаще всего оценивают условной вероятностью безотказной работы в течение заданного интервала времени p(0,t) при условии, что в начальный момент времени все элементы работоспособны (исправны). Слово «условная» обычно опускают.

Отличие р(0,t) от соответствующего показателя для неремонтируемой системы состоит в.том, что при вычислении р(0,t) учитывается ремонт отказавших элементов при работоспособной системе.

Для восстанавливаемых систем объединение резервирования с восстановлением имеет такое же большое значение, как для невосстанавливаемых систем объединение резервирования с периодическим контролем работоспособности элементов.

Особенности систем с восстановлением рассмотрим на примере дублированной системы с ненагруженным резервом и идеальным переключателем (рис.5.11). Основная и резервные системы имеют одинаковую надежность и показательное распределение вероятностей времени безотказной работы и времени восстановления с параметрами (интенсивностями) λ и μ соответственно.

Рис. 5.11 Дублированная система с ненагруженным резервом и идеальным переключателем

Работа такой системы осуществляется следующим образом: основная система, проработав случайное время τ₀, отказывает и затем восстанавливается в течение случайного времени τ₁. В момент отказа основной системы включается резервная и безотказно работает в течение случайного времени τ₁, и т. д. (рис. 5. 12).

Отказ дублированной системы наступает тогда, когда до момента отказа одной системы другая не успевает восстановиться (конец: интервала τ_n).

Таким образом, дублированная восстанавливаемая система может находиться в одном из трех состояний:

0 — вся система работоспособна (основная и дублирующая системы исправны);

1 — вся система работоспособна, но основная либо дублирующая система отказала;

2 — вся система неработоспособна (отказали основная и дублирующая система).

Рис. 5.12 Временной график работы дублированной системы с восстановлением и идеальным переключателем

Вероятности этих состояний обозначим соответственно p₀(t), p₁(t), p₂(t).

Граф состояний дублированной системы с восстановлением приведен на рис. 5.13.

Из состояния 0 в состояние 1 система может перейти с интенсивностью λ, так как имеет место ненагруженный резерв (если бы дублирующая система работала в таком же режиме, что и основная, то интенсивность перехода равнялась 2λ). За счет восстановления система из состояния 1 может перейти в состояние 0 с интенсивностью μ. Если же отказ работающей системы произойдет до окончания восстановления отказавшей системы, то откажет вся система и с интенсивностью λ перейдет в состояние 2.

Искомая условная вероятность

(5.57)

поскольку, вследствие несовместности состояний 0, 1, 2,

p₀(t)+p₁(t)+p₂(t)=1. (5.58)

Кроме того, справедливы соотношения

Р₀(0)=1; р₁(0)=р₂(0)=0 (5.59)

Вероятности p₀(t), p₁(t) и р₂(t) определяются как решение системы дифференциальных уравнений, составленных по следующим правилам:

- число уравнений равно числу возможных состояний;

— левая часть уравнения представляет собой первую производную вероятности данного состояния по времени, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с этим состоянием. Если стрелка выходит из данного состояния, соответствующий член имеет знак минус, если же направлена в состояние - плюс.-

λ λ

μ

Рис. 5.13 График состояний дублированной системы с восстановлением

Каждый член равен произведению интенсивности перехода, указанной на стрелке, на вероятность того состояния, из которого выходит стрелка.

Тогда система уравнений, составленная в соответствии с графом состояний, изображенным на рис. 5.13, имеет вид

……………….(5.60)

Решая эту систему с учетом условий (5.58) и (5.59), имеем

(5.61)

где .

Математическое ожидание времени безотказной работы рассматриваемой дублированной ненагруженной системы:

(5.62)

В качестве дублированной восстанавливаемой непрерывно работающей системы можно рассматривать группу летательных аппаратов, состоящую из двух звеньев, осуществляющих поочередно дежурство в воздухе. После отказа какой-нибудь системы летательного аппарата из числа находящихся в воздухе, либо вследствие выработки топлива все звено возвращается на аэродром, а его место занимает другое звено. Вернувшееся звено готовится к полету и т. д. Такая «система» откажет только в том случае, если к моменту окончания дежурства в воздухе одного звена второе звено не будет готово к полету.

Дата добавления: 2014-01-04