Інтеграли від диференціальних біномів , де m, n, p - раціональні числа

Як довів П. Л. Чебишев, інтеграли від диференціальних біномів виражаються через елементарні функції тільки в трьох випадках:

1) р – ціле число, тоді даний інтеграл зводиться до інтегралу від раціональної функції за допомогою підстановки , де s – найменше загальне кратне знаменників дробів m та n;

2) - ціле число, у цьому випадку даний інтеграл раціоналізується за допомогою підстановки ;

3) - ціле число, у цьому випадку до тієї ж мети призведе підстановка , де s – знаменник дробу р.

Приклади 12. Знайти інтеграли

1) .

Підінтегральну функцію можна записати у вигляді , тобто ціле число. Виходить, маємо перший випадок інтегрування диференціального бінома. Тому варто застосовувати підстановку ; тоді та шуканий інтеграл приймає вигляд

.

Останній інтеграл знаходиться таким чином:

.

Таким чином,

.

2) .

Переписавши підінтегральну функцію у вигляді , маємо . Тому що ціле число, то має місце другий випадок інтегрування. Використовуючи підстановку , одержимо . Отже,

.

3) .

Тут і ціле число. Тому має місце третій випадок інтегрування диференціального бінома. Покладемо ; тоді . Перетворимо даний інтеграл у такий спосіб:

.

Отже,

.

Дата добавления: 2014-01-04