Диференційне рівняння конвективного теплообміну

Для того, щоб зрозуміти механізм розрахунку коефіцієнта тепловіддачіслід розглянути диференційне рівняння конвективного теплообміну, яке описує швидкість зміни температури в рухомому середовищі за рахунок одночасного переносу тепла конвекцією і теплопровідністю.

Диференційне рівняння конвективного теплообміну

(6)

– коефіцієнт температуропровідності,

– оператор Лапласа.

Рівняння (6) ще називають рівнянням Фур’є – Кірхгофа. Рівняння (6) показує залежність розподілу температури в потоці теплоносія одночасно за рахунок теплопровідності і конвекції.

Якщо процес теплообміну буде встановленим (стаціонарним) складова .

З рівняння (6) легко отримати диференційне рівняння теплопровідності для нерухомого середовища, якщо враховувати, що тоді

W_Х=W_Y=W_Z=0.

Для розв’язку рівняння (6) має бути доповнене диференційним рівнянням Нав’є–Стокса, що описує гідродинаміку потоку реальної рідини, а також початковими та граничними умовами. Така складна система диференційних рівнянь в загальному випадку розв’язку не має, оскільки в рідині, що рухається турбулентно сама структура потоку складається з окремих вихрових утворень, що є нестійкими і які постійно змінюються, як по розмірах, так і по швидкості і напрямку руху.

Методична цінність цього рівняння в тому, що за його допомогою виявляються складові, що визначають критерії теплової подібності, як співвідношення відповідних сил або інтенсивності перенесення.

Критерії теплової подібності

Якщо розглянути густину теплового потоку на границі розподілу, (стінка–теплоносій) і визначити на основі рівнянь:

1) тепловіддачі – Ньютона;

2) теплопровідності Фур’є для пограничного шару, то отримаємо рівняння

(7)

Комплекс зліва враховує інтенсивність перенесення тепла в пограничному шарі теплопровідністю, а комплекс справа через рівняння Ньютона.

Якщо скористатись методами теорії подібності (тобто відкинути знаки диференціювання, а відношення зміни нескінченно малих величин замінити відношенням самих величин), то отримаємо перший тепловий критерій Нусельта , який визначає міру відношення конвективного теплообміну до кондуктивного (шляхом теплопровідності) в пограничному шарі на границі стінка-теплоносій. Цей критерій є визначуваним, який залежить від інших, що його визначають. З критерію Nu визначають коефіцієнт тепловіддачі α.

В критерій Nu входять α-коефіцієнт тепловіддачі, l- характерний геометричний розмір поверхні (наприклад, при русі в трубі це d-діаметр труби), λ-коефіцієнт теплопровідності теплоносія.

З рівняння (6) отримують такі критерії теплової подібності

– критерій Пекле, що характеризує міру відношення конвективного до кондуктивного теплообміну в ядрі потоку теплоносія.

– критерій Фур’є, критерій що враховується в нестаціонарних процесах, як міра співвідношення теплоти, що переноситься теплопровідністю і пульсаціями потоку в умовах нестаціонарного руху.

Критерій Пекле можна розписати як

; ;

Re – критерій Рейнольда

Рr – критерій Прандтля, можна ще розписати, записавши

Рr – це міра співвідношення в’язкісних і температурних властивостей теплоносія, які формують гідродинамічний і тепловий пограничний шари.

Критерій Аr для співвідношення сил тертя та підйомних сил в умовах теплообміну можна трансформувати у критерій Gr (Грасгофа) де конвекція забезпечується різницею густин внаслідок різниці температур і відповідно температурного розширення. (t_ст–t)=Δt

β – коефіцієнт температурного розширення.

В загальному випадку залежність теплообміну має вигляд

Nu= f (Re, Pr, Gr, Fo, Г...) (8)

Г – це геометрична подібність, для різних випадків (D – діаметр апарату, d_M – діаметр мішалки), (D – діаметр, Н – висота), і т.д.

Критеріальні рівняння представляють у степеневому вигляді, при чому виділяють критерії, що найбільше впливають в кожному конкретному вигляді, а коефіцієнт А і показники степені визначають в результаті узагальнення дослідних даних.

Наприклад: для встановленого потоку при вимушеному русі теплоносія критеріальне рівняння має вигляд

Nu=A·Reⁿ∙Pr^m (9)

A, n, m залежать від режиму руху (ламінарний або турбулентний), форми тіла (геометрії потоку) і напрямку потоку, відносно твердої поверхні.

Критеріальних рівнянь типу (9) отримано багато, вони розрізняються певними умовами тепловіддачі і їх вибирають з довідника (Павлов, Романков, Носков).

Приведемо тільки один приклад, що найбільш широко використовується

Nu=0,021· Re^0,8∙Pr^0,43(Pr/Pr_ст)^0,25

цей випадок відповідає тепловіддачі при русі теплоносія в трубі при Re>10⁴.

Певні особливості має тепловіддача при зміні агрегатного стану – конденсації або кипінні, але і в цьому випадку отримані критеріальні рівняння, що визначають відповідні значення критерію Nu, або в кінцевому випадку коефіцієнта тепловіддачі α.

Алгоритм розрахунку α

1. Уточнюють умови протікання процесу, визначають фізико-хімічні параметри (μ, ρ, λ, с, β...) при середній температурі теплоносія і біля стінки, геометричні характеристики для потоку і режим руху (Re).

2. З літературних джерел вибирають відповідне до умов п.1 критеріальне рівняння.

3. Розраховують необхідні критерії (Re, Re_CT, Pr, Gr…)

4. Визначають критерій Nu, а з нього коефіцієнт тепловіддачі .

Основне рівняння теплопередачі. Визначення коефіцієнта теплопередачі.

Основне рівняння теплопередачі

Q = k∙F∙Δt_cp (10)

ми вже розглянули. Але щоб ним користуватись, слід вміти визначити k– коефіцієнт теплопередачі [Вт/(м²К)], і середню рушійну силу Δt_cp.

Механізм процесу теплопередачі через стінку

Якщо розглянути густину теплового потоку на вказаних ділянках і врахувати що це один і той самий потік отримаємо рівність

(11)

Розв’язуючи рівняння (11) відносно різниці температур теплоносіїв (t₁-t₂) одержимо

(12)

суму величини в дужках позначимо

або (13)

k – коефіцієнт теплопередачі

– сумарний термічний опір теплопередачі, який складається з опорів стінки і двох пограничних шарів для відповідних теплоносіїв і .

Якщо на стінці відкладені накип, ржа, забруднення, або нанесені емаль і т.д. ці опори сумуються .

Таким чином, коефіцієнт теплопередачі визначається за рівнянням

(14)

Основна задача інтенсифікації теплопередачі це збільшення коефіцієнта теплопередачі k, а для цього треба зменшити відповідні термічні опори.

Наприклад, якщо опір стінки значно менший і ним можна знехтувати

, то .

Якщо α₁≈10÷20, а α₂≈10⁴÷2∙10⁴, то <<і процес в цілому визначається тепловіддачею до стінки, тобто k≈α₁.

Тут для інтенсифікації процесу в цілому слід збільшувати α₁ (за рахунок турбулізації потоку, оребрення стінки і т.д.), тобто менше значення α₁.

Якщо великий опір створює стінка слід її очистити від накипу, ржі і бруду. Для цього використовують механічні і хімічні методи.

Для орієнтиру, які значення має коефіцієнт тепловіддачі при різних випадках слід орієнтуватись на табл. 4.7.(Павлов, Романков, Носков).

Наприклад

α_гази ≈ 35÷60 (вимушений рух)

α_вода ≈ 1200÷5800 (вимушений рух)

α_{конд насич пари} ≈ 9300÷15000

α_{орган рідин} ≈ 250÷800

В табл. 4.8. представлені орієнтовні значення коефіцієнтів теплопередачі при комбінації відповідних теплоносіїв.

Визначення середньої рушійної сили Δt_ср

Рушійною силою при теплопередачі є різниця температур теплоносіїв (t₁-t₂). Оскільки один із теплоносіїв може охолоджуватись, а другий відповідно нагріватись, то ця різниця по довжині теплообмінника буде змінюватись. Як наслідок в розрахунки вводять Δt_ср. Формула для розрахунку Δt_ср виводиться в залежності від напрямку руху теплоносіїв. Тут розрізняють такі випадки:

1) прямотечійний, коли обидва теплоносії рухаються в одну сторону

схематично

2) протитечійний, коли теплоносії рухаються в протилежному напрямку

3 ) перехресний рух, схематично

t₁

t₂

4) комбіновані варіанти руху, коли напрямки частково співпадають і частково протилежні

приклад

Опускаючи вивід рівняння для визначення Δt_ср запишемо кінцеві формули

де для прямотечії

Δt_δ=t_1n-t_2п Δt_м=t_1k-t_2k.

для протитечії

Δt_δ=t_1n-t_2k Δt_м=t_1k-t_2n

Якщо < 2 формула для розрахунку Δt_ср спрощується і визначається як середньоарифметична

Δt_ср= (< 2)

Слід зазначити, що протитечійний рух має перевагу над іншими напрямками з позицій величини Δt_ср, а відповідно інтенсивності теплопередачі.

Як приклад, оцінимо Δt_ср для прямотечії і протитечії, коли кількість тепла що передається, витрата і температури на вході і виході однакова, тобто з теплового балансу

Q = G₁ с₁ (t_1n-t_1k) = G₂ с₂ (t_2k-t_2n)

величини співпадають.

Розрахуйте рушійну силу самостійно

100 60 100 60

10 50 50 10

Δt_δ=100-10=90 Δt_м=60-50=10º

Δt_ср-? порівняти Δt_ср-?

Для перехресного і комбінованого напрямків руху, Δt_ср розраховується як для протитечії, але потім множиться на поправочний коефіцієнт < 1, який вибирається графічно з рисунків в залежності від напрямку і двох параметрів P і R, які розраховуються

;

(Рис.VІІІ Павлов, Романков, Носков).

Дата добавления: 2014-01-04