Расчет момента инерции некоторых тел

Момент инерции материальной точки равен произведению квадрата расстояния от точки до оси вращения, mR ². Момент инерции твердых тел равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело, то есть интегралу от произведения квадрата расстояния элементарных частиц тела от оси на величину их массы:

. (9.10)

Произведем расчет момента инерции тел простой формы.

1.Кольцо

Все частицы кольца находятся на одинаковом расстоянии от оси (рис. 9.3). Вынесем в формуле момента инерции (9.10) расстояние r = R за знак интеграла, а интеграл от элементарных масс дает полную массу кольца. Итак, .

2. Диск

Пусть масса диска m, радиус R. Разделим диск на тонкостенные кольца. Несмотря на большие размеры колец, масса их будет ничтожно мала, если толщина стенки будет много меньше радиуса. Масса элементарного кольца пропорциональна площади торца кольца: . Аналогично, масса диска пропорциональна площади торца: . Из пропорций получим: . Подставим массу элементарного кольца под знак интеграла момента инерции . Нижний предел интегрирования равен радиусу элементарного кольца в центре диска r = 0, верхний предел равен радиусу кольца у поверхности диска r = R. Интегрируя, получим формулу момента инерции диска относительно оси .

3. Стержень

Пусть масса стержня m равномерно распределена по длине стержня l с линейной плотностью . Ось вращения проходит через середину, перпендикулярно стержню. Разделим стержень на элементарные отрезки длиной dr с массой . Подставим массу элементарного отрезка в интеграл момента инерции . Интегрируя, получим формулу момента инерции стержня .

Дата добавления: 2014-01-04