Формализация и решение задачи оптимального проектирования цифровых фильтров

Рис. 2.45. Цифровой фильтр.

К основным технико-экономическим показателям цифрового устройства (ЦУ), работающего в реальном времени по заданному алгоритму отнесём:

1) диапазон рабочих частот, определяющий максимальную частоту дискретизации входного сигнала, на которой может вестись обработка в реальном времени по заданному алгоритму;

2) чувствительность воспроизводимых характеристик к точности представления коэффициентов;

3) уровень собственных шумов на выходе ЦУ;

4) аппаратные затраты, т.е. количество модулей, определяемое СБИС и требуемой задачей.

Последующая формализация многокритериальной задачи оптимального проектирования предполагает, что выбрана схема технической реализации ЦУ и задана некоторая обобщающая цель проектирования, которая позволяет выбрать один основной критерий, а остальные отнести в область ограничений.

Можно сформулировать 2 обобщающих критерия задачи оптимального проектирования ЦУ:

1) первый исходит из жёсткой ограниченности вычислительных ресурсов, ёмкости памяти и разрядности коэффициентов и данных;

2) второй допускает наращиваемость ресурсов (многопроцессорная реализация).

В первом случае обобщающим критерием является требование минимизации погрешностей воспроизведения желаемых характеристик в условиях известных аппаратно-программных ограничений.

Во втором случае допустимая погрешность и диапазон рабочих частот считается заданными (ограничительные условия), и ставится задача минимизации числа однотипных вычислительных модулей. Поскольку необходимость наращивания вычислительных модулей, как правило, связана с недостаточными вычислительными ресурсами, то задача оптимального проектирования многомодульного устройства может быть сведена к задаче оптимального проектирования одномодульного устройства по критерию минимума вычислительных затрат в единицу времени при заданных ограничивающих условиях.

Первый тип задачи назовём прямой, а второй тип – обратной задачей оптимального проектирования. Прямая задача связана непосредственно с основной целью проектирования – наилучшим воспроизведением желаемых характеристик при известных ограничениях. Обратная задача предполагает минимизацию вычислительных затрат при условиях, гарантирующих обеспечение заданной точности. Решение обратной задачи связано, прежде всего, с минимизацией порядка синтезированной цепи, в то время как для повышения точности требуется увеличение порядка цепи.

Будем считать, что проектируемое ЦУ реализует заданные функции при следующих аппаратных ограничениях:

· τ_умн, τ_сл, τ_оп – время выполнения операций умножения, сложения и обращения к памяти соответственно;

· S_доп – допустимая ёмкость памяти данных;

· Q_доп – допустимая ёмкость памяти программ;

· p – разрядность представления данных;

· q – разрядность представления коэффициентов.

Введём оценки аппаратно-программных затрат на реализацию оператора:

1) объём вычислительных (временных) затрат на реализацию оператора;

2) требуемая ёмкость памяти данных;

3) требуемая ёмкость памяти программ.

Заметим, что временные затраты можно оценить по следующим соотношениям:

где V_умн, V_сл, V_оп – требуемое число операций умножения, сложения и обращения к памяти при их заданной реализации.

Очевидно, что при работе устройства в реальном времени при заданном ограничении памяти данных и памяти программ:

Кроме того, вследствие наличия собственных шумов, связанных с округлением результатов промежуточной обработки, необходимо учитывать ограничение вида, где D – дисперсия собственного шума на выходе ЦУ.

Используя приведённые выше понятия и обозначения, прямую задачу оптимального проектирования цифровых фильтров частотной селекции сформулируем в следующем виде.

Найти подкласс и оператор такие, что

где – целевая функция, определяющая достижимую точность воспроизведения желаемой функции передачи H (jω).

Задачу оптимального проектирования (2.56) можно свести к последовательному решению двух задач:

· задаче выбора подкласса операторов, обеспечивающего достижение максимального порядка N некоторого эквивалентного по свойствам частотной избирательности цифрового фильтра, реализуемого прямым способом

· и задаче чебышевского приближения при заданном значении порядка N

Задача (2.57) – задача поиска оптимальной структуры фильтра в подклассе. Задача (2.58) – задача аппроксимации при заданном порядке фильтра N.

Обратную задачу оптимального проектирования в тех же обозначениях сформулируем следующим образом.

Найти, такие, что

Решение обратной задачи (2.59) можно свести к последовательному решению двух задач:

· обратной аппроксимационной задаче чебышевского приближения, устанавливающей значение минимального порядка КИХ-фильтра, реализуемого прямым методом

· и задаче выбора подклассов оператора, минимизирующего объём вычислительных затрат на реализацию фильтра заданного порядка N при известных ограничениях

Заметим, что задача (2.60) является задачей аппроксимации, а задача (2.61) – задачей поиска наилучшей структуры цифровой цепи. В практике проектирования ЦУ обычно ограничения, связанные с уровнем собственных шумов, на первом этапе не рассматриваются. По окончании первого этапа производят оценку уровня собственных шумов для заданного подкласса и порядка N. В случае невыполнения ограничения на уровень собственных шумов применяются дополнительные меры, связанные с синтезом малошумящих цепей.

3. Многоскоростная обработка сигналов

3.1. Цифровые фильтры с многоступенчатой дискретизацией и интерполяцией

3.1.1. Основные понятия, связанные с преобразованием частоты дискретизации

Процесс цифрового преобразования частоты дискретизации сигнала от заданной f_кв1 к f_кв2 при условии, что f_кв2 < f_кв1, называют вторичной дискретизацией или децимацией. Обратный процесс перехода от f_кв1 к f_кв2 при условии, что f_кв2 > f_кв1, называют интерполяцией. Децимацию и интерполяцию считают дуальными процессами. В процессе децимации происходит прореживание отсчётов сигнала, в процессе интерполяции – их восстановление.

Рассмотрим временную последовательность при этом где υ – целое число.

Пусть спектр X (jω) сигнала x (nT₁) занимает всю полосу рабочих частот. Тогда согласно условию Найквиста-Котельникова, чтобы понизить частоту дискретизации в υ раз и не допустить эффекта наложения спектра на более низкой частоте дискретизации, необходимо пропустить сигнал x (nT₁) через ФНЧ со следующей идеальной частотной характеристикой:

Таким образом, общая структура фильтра-дециматора принимает следующий вид (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Структурная схема фильтра-дециматора.

Вход и выход фильтра-дециматора связан выражением вида:

Отметим, что в соответствии с данным выражением при реализации фильтров в классе КИХ-цепей вычислительные затраты потенциально уменьшаются в υ раз, т.к. вычисляется только каждый υ -ый отсчёт выходного сигнала.

Рассмотрим преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала x (nT₁) по данной цепи (рис. 3.2).

Рис. 3.2. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через фильтр-дециматор.

Здесь υ =4, ω =2 πfT ₁, Ω =2 πfT ₂=2 πfυT ₁= υω. Если υ =4, то Ω = 4ω.

Рассмотрим дуальный процесс: процесс повышения частоты дискретизации в υ раз. Структурная схема фильтра-интерполятора, повышающего частоту дискретизации в υ раз, принимает следующий вид (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Структурная схема фильтра-интерполятора.

Вход и выход интерполятора связаны друг с другом выражением вида:

Экспандер частоты дискретизации повышает последнюю в υ раз путём простой расстановки υ -1 нулей между каждой парой соседних отсчётов преобразуемого сигнала. При этом вычислительные затраты уменьшаются в υ раз по отношению к обычному ФНЧ, т.к. на вход интерполятора поступает прореженная в υ раз последовательность отсчётов (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Преобразование сигнала при прохождении через фильтр-интерполятор.

Рассмотрим преобразование спектров сигналов в процессе повышения частоты дискретизации по данной схеме (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через фильтр-интерполятор.

Таким образом, в процессе интерполяции происходит сжатие спектра входного сигнала в υ раз и периодическое продолжение с периодом 2π/ υ (с позиции приведённых частот).

3.1.2. Метод синтеза структуры узкополосного фильтра НЧ на основе децимации и интерполяции преобразуемого сигнала

Рассматривается задача проектирования НЧ-фильтра, отвечающего следующим требованиям частотной избирательности (рис. 3.6).

Рис. 3.6. АЧХ фильтра.

Для оценки требуемого порядка N КИХ-фильтров используем следующее выражение:

α – показатель прямоугольности АЧХ фильтра (обычно α =0.5÷10),

β – показатель узкополосности фильтра (β =10÷10⁴),

L – логарифмический показатель частотной избирательности (L =1÷5).

Показатель узкополосности является определяющим. Таким образом с целью значительного уменьшения требуемых вычислительных затрат на реализацию узкополосного фильтра желательно снять линейную зависимость вычислительных затрат и памяти данных от показателя узкополостности β. Именно многоскоростная обработка сигналов с понижением и последующим повышением частоты дискретизации является таким инструментом, который решает поставленную задачу. Покажем это.

В соответствии с методом на основе децимации и интерполяции структура узкополосного фильтра принимает следующий вид (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Структурная схема узкополосного фильтра на основе децимации и интерполяции выходного сигнала.

Согласно данной схеме проектируемый фильтр с желаемой функцией передачи H (jω) используется дважды: сначала как фильтр-дециматор, затем как фильтр-интерполятор. Отметим, что общие вычислительные затраты уменьшаются в υ /2 раз. При этом максимально возможный коэффициент децимации связан с параметрами частотной избирательности α и β выражением вида

Рис. 3.8.

Если то А это значит, что с увеличением β пропорционально увеличивается коэффициент децимации υ, а значит вычислительные затраты не зависят от показателя узкополосности β. Однако, если то сохраняется пропорциональная зависимость всех затрат от показателя прямоугольности α. Поэтому дальнейшая модификация данной структуры привела к двухступенчатой реализации с подключением дополнительного формирующего фильтра по следующей схеме (рис. 3.9).

Рис. 3.9. Структурная схема двухступенчатой формы реализации узкополосного фильтра НЧ на основе децимации и интерполяции с подключением дополнительного формирующего фильтра.

В соответствии с данной схемой, входной сигнал x (nT₁) пропускают через фильтр-дециматор порядка N₁, понижая частоту дискретизации в υ раз. При этом на фильтр-дециматор не накладываются требования высокой прямоугольности его АЧХ, а следовательно порядок N₁ существенно меньше N (N₁ << N). Далее используется формирующий фильтр порядка N₀, работающий на пониженной в υ раз частоте дискретизации. Именно этот фильтр и обеспечивает высокую прямоугольность АЧХ.

Заметим, что при этом его порядок N₀ = N / υ, т.к. показатель узкополосности формирующего фильтра уменьшается в υ раз. Кроме того он работает на пониженной в υ раз частоте дискретизации, а следовательно приведённые вычислительные затраты уменьшаются в υ ² раз.

На третьей ступени преобразования с помощью фильтра порядка N₁ восстанавливается исходная частота дискретизации. Встаёт вопрос, как найти оптимальное значение коэффициента децимации, т.к. с увеличением коэффициента υ значительно уменьшаются затраты на формирующий фильтр, но при этом растут затраты на дециматор и интерполятор.

Рассмотрим преобразование спектров сигналов при прохождении по данной структуре (рис. 3.10).

Рис. 3.10. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через узкополосный фильтр НЧ на основе децимации и интерполяции с подключением дополнительного формирующего фильтра.

3.1.3. Методы синтеза многоступенчатых структур узкополосного фильтра

1. Метод Мориса Белланже

Идея метода заключается в каскадном включении предельно простых фильтров-дециматоров и интерполяторов, каждый из которых повышает и понижает частоту дискретизации в 2 раза.

Пусть коэффициент децимации υ =2 ^k, тогда общая структура узкополосного фильтра принимает следующий вид (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Структурная схема узкополосного фильтра по методу Мориса Белланже.

На каждой ступени преобразования частота дискретизации повышается или понижается в 2 раза. Оценим вычислительные затраты и память данных на реализацию многоступенчатой структуры узкополосного фильтра по отношению к эквивалентному фильтру N -го порядка, реализуемому прямым способом (рис. 3.12).

Рис. 3.12. Эквивалентный фильтр N -го порядка.

Приведённые вычислительные затраты:

и затраты памяти данных

где N₀ = N / υ – порядок формирующего фильтра.

Найдём выражение для оценки порядка первого фильтра-дециматора N₁.

Рис. 3.13.

Если то, а значит.

Заметим, что для каждого последующего фильтра его порядок, практически совпадает с N_i = N₁, т.к. на каждой последующей ступени показатель АЧХ увеличивается в 2 раза, но при этом в 2 раза уменьшается показатель узкополосности β. Таким образом оценки вычислительных затрат и памяти данных принимают следующий вид:

Недостатки:

1) Полученное решение не является оптимальным с позиции вычислительных затрат и памяти данных, особенно если υ_доп существенно отлично от степени двойки.

2) С увеличением числа ступеней увеличивается неравномерность АЧХ в полосе пропускания. Поэтому для каждого i -го фильтра ε_1доп должно определятся как ε_1доп / k, где k – число ступеней:

Полуполосные фильтры

Полуполосный фильтр представляет собой КИХ-фильтр, чётные отсчёты импульсные характеристики которого принимают нулевые значения, кроме n ≠0.

При этом нечётные отсчёты отличны от нуля. Полуполосный фильтр обладает следующими свойствами:

1) Затраты на его реализацию потенциально уменьшаются в 2 раза.

2) Передаточная функция H (z) отвечает равенству вида H (z)+ H (-z)=1.

Если, то, но (рис. 3.14).

Рис. 3.14. АЧХ полуполосного фильтра

Заметим, что для полуполосного фильтра точность воспроизведения частотной характеристики в полосе пропускания ε ₁ полностью определяется заданной точностью восстановления ε ₂ в зоне непрозрачности (ε _{2 доп} << ε _{1 доп} ).

Вывод: полуполосный фильтр является идеальным инструментом для многоступенчатой реализации фильтра с повышением и понижением частоты дискретизации на каждой ступени в 2 раза.

2. Метод Крошье-Рабинера

Идея метода заключается в реализации принципа оптимального расчёта параметров многоступенчатой реализации узкополосного фильтра. Считается, что число ступеней k, коэффициенты децимации υ_i и порядки N_i при неизвестны. Ставится задача поиска оптимальных значений этих параметров с целью минимизации общего числа операций умножения или числа ячеек памяти данных.

Общая структура узкополосного фильтра принимает следующий вид (рис. 3.15).

Рис. 3.15. Структурная схема узкополосного фильтра по методу Крошье-Рабинера.

Полифазная форма

Пусть

Сгруппируем отсчёты импульсной характеристики h (n) как совокупность чётных и нечётных. Тогда

Это можно представить как:

Таким образом, общая структура фильтра может быть представлена в следующем виде (рис. 3.16).

Рис. 3.16. Структурная схема двухфазной формы узкополосного фильтра.

Это пример двухфазной реализации.

Используем данное представление для описания фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза (рис. 3.17).

Рис. 3.17. Структурная схема двухфазной формы реализации фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза на выходе.

Перенеся элемент децимации с выхода на вход, получим (рис. 3.18):

Рис. 3.18. Структурная схема двухфазной формы реализации фильтра-дециматора с понижением частоты дискретизации в 2 раза на входе.

Разбивая аналогично входную последовательность X (nT₁) на υ групп, передаточную функцию H (z) можно представить в следующем виде:

При этом υ -фазная форма фильтра-дециматора принимает следующий вид (рис. 3.19).

Рис. 3.19. Структурная схема υ -фазной формы реализации фильтра-дециматора.

Отметим, что каждый «фазный» фильтр работает на пониженной в υ раз частоте дискретизации и имеет порядок N/υ.

Параллельная форма фильтра-дециматора

В рамках параллельной формы предполагается, что вместо памяти входных данных используется память вычисляемых выходных данных. А так как выходные данные прореживаются, то это позволяет сократить память данных в υ раз (рис. 3.20).

Рис. 3.20. Структурная схема параллельной формы реализации фильтра-дециматора.

В рамках данной структуры отсчёты входного сигнала X (nT₁) умножаются на множество из k = N/υ отсчётов импульсных характеристик на периоде дискретизации T₁, и полученные произведения последовательно добавляются к k регистрам-аккумуляторам, на которых накапливается сумма произведений длительностью nT₁. Поскольку начала накопления сдвинуты относительно друг друга на υ отсчётов, то выходные результаты считываются с интервалом υT₁ = T₂, что соответствует последовательному переключению ключа от накопителя к накопителю. Отметим, что отсчёты импульсной характеристики i -го фильтра-накопителя:

В заключении рассмотрим циклограмму параллельной работы накопителей-аккумуляторов (рис. 3.21).

Рис. 3.21. Циклограмма параллельной работы накопителей-аккумуляторов.

Главное преимущество данной схемы – уменьшение памяти данных в υ раз. Вместе с тем необходимо отметить, что внешняя память заменяется на регистры-аккумуляторы, на которых происходит накопление результатов умножения. А следовательно, такая форма неэффективна на сигнальных процессорах, которые работают на 1-2 аккумуляторах. Однако при реализации на ПЛИС и на микроконтроллерах этот недостаток исключается.

3. Метод синтеза цифрового полосового фильтра на основе демодуляции/модуляции преобразуемого сигнала

Идея метода заключается в таком преобразовании входного сигнала, чтобы задачу полосовой фильтрации свести к задаче НЧ-фильтрации. В этом случае разработанный выше механизм проектирования узкополосного фильтра на основе децимации и интерполяции можно использовать для полосового фильтра.

С этой целью необходимо преобразовать входной сигнал таким образом, чтобы область частот в окрестности центральной частоты ω ₀ была трансформирована в НЧ-область, а после выполнения НЧ фильтрации возвращена обратно в окрестность частоты ω ₀.

Общая структура для действительного входного сигнала принимает следующий вид (рис. 3.22).

Рис. 3.22. Метод синтеза цифрового полосового фильтра на основе демодуляции/модуляции преобразуемого сигнала.

Отметим, что общим недостатком методов проектирования цифровых фильтров на основе децимации и интерполяции преобразуемого сигнала является наличие шума децимации, появление которого связано с неидеальностью частотных характеристик фильтра, т.е. наличие боковых лепестков в зоне непрозрачности фильтра, через которые происходит проникновение шума, который в процессе децимации попадает в полосу полезного сигнала. От такого шума уже не избавиться.

3.2. Цифровые фильтры с многоступенчатой децимацией импульсной характеристики фильтра

3.2.1. Цифровые гребенчатые фильтры

Цифровой фильтр назовём гребенчатым кратности υ, если в диапазоне 0≤ ω ≤2 π его частотная характеристика H_ГФ (jω) является периодической с периодом равным 2 π / υ (рис. 3.23).

Рис. 3.23. АЧХ цифрового гребенчатого фильтра.

Рассмотрим основные характеристики и свойства цифровых гребенчатых фильтров (ЦГФ). Периодический характер частотной характеристики гребенчатого фильтра обуславливает прореженность его импульсной характеристики.

где – импульсная характеристика базового НЧ-фильтра, работающего на пониженной в υ раз частоте дискретизации входного сигнала

Заметим, что в соответствии с (3.1), импульсная характеристика ГФ может быть получена из импульсной характеристики базового НЧ-фильтра путём простого добавления υ -1 нулей между каждой парой соседних отсчётов.

Установим связь между передаточными функциями ГФ и базового НЧ-фильтра.

Введём подстановку W = z^υ:

Таким образом, передаточная фильтрация ГФ связана с передаточной функцией базового НЧ-фильтра отображением вида W = z^υ.

где

Если то

Таким образом, частотная характеристика ГФ на интервале рабочих частот 0≤ ω ≤2 π формируется из частотной характеристики базового НЧ-фильтра сжатием по оси частот в υ раз и периодическим продолжением (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Преобразование сигнала при прохождении через цифровой гребенчатый фильтр.

Гребенчатый КИХ-фильтр

Вход x (nT) и выход y (nT) ГФ N -го порядка связаны свёрткой вида

Выражение (3.2) показывает, что вычислительные затраты на реализацию гребенчатого КИХ-фильтра потенциально уменьшаются в υ раз.

Структурная схема гребенчатого КИХ-фильтра принимает следующий вид (рис. 3.25)

Рис. 3.25. Структурная схема гребенчатого КИХ-фильтра.

Заметим, что в соответствии с прямой формой реализации (3.2), требуется организация сдвига памяти данных всего N -мерного массива входных данных за период дискретизации T. Вместе с тем, если использовать для реализации полифазную форму гребенчатого фильтра, то этот недостаток можно исключить.

Полифазная форма ГФ

Рис. 3.26. Структурная схема полифазной формы гребенчатого КИХ-фильтра.

Из анализа данной схемы можно сделать следующие выводы:

1) Все свойства ГФ полностью определяются свойствами базового НЧФ, который в рамках полифазной структуры повторяется υ раз.

2) Поскольку каждый базовый фильтр реализуют как обычный фильтр (без децимации) и его порядок равен N/υ, то все затраты, связанные с его реализацией, в том числе и обращение к памяти данных определяется отношением N/υ.

Гребенчатый БИХ-фильтр

Вход и выход ГФ M -го порядка, реализуемого по прямой форме, связаны друг с другом выражением вида:

Общая структура прямой формы реализации имеет следующий вид (рис. 3.27)

Рис. 3.27. Структурная схема гребенчатого БИХ-фильтра.

В соответствии с данной структурой, память данных увеличивается в υ раз. Однако гребенчатый БИХ-фильтр решает основную проблему: чувствительность частотной характеристики гребенчатого фильтра (уход полюсов передаточной функции) к неточному представлению коэффициентов уменьшается в υ^M раз по отношению к одногребенчатому (однозубчатому) фильтру с теми же свойствами частотной избирательности и того же порядка.

Пусть H^* (W) – передаточная функция базового НЧ-фильтра, которая синтезирована в W -области. Переход к передаточной функции ГФ определяется отображением вида W = z^υ.

При этом полюсы связаны с полюсами выражением вида:

Используя представление вида получим

где

Рассмотрим пример подобной трансформации W -области для υ =4 (рис. 3.28).

Рис. 3.28. Трансформации W -области для υ =4.

Таким образом, плотность полюсов ГФ в каждой m -той полосе пропускания увеличивается в υ раз по отношению в базовому НЧ-фильтру. Пропорционально υ увеличивается и смещение полюсов ГФ к единичной окружности Z- области. Поэтому достигается реализация в υ раз более узкополосного фильтра по отношению к базовому НЧ-фильтру.

Вместе с тем, все свойства гребенчатого фильтра, в том числе чувствительность его полюсов к неточному представлению коэффициентов, полностью определяются базовым НЧ-фильтром. С тем, чтобы оценить чувствительность характеристик гребенчатого фильтра к неточному представлению коэффициентов воспользуемся оценкой, представленной Кайзером.

Здесь: Δ a_i – уход коэффициента a_i (неточное представление), Δ z_k – уход k -го полюса, обусловленный уходами всех i -тых коэффициентов.

Можно показать, что чувствительность k -го полюса к уходу a_i коэффициента связана с положением полюсов выражением вида:

В соответствии с данным выражением, чувствительность полюсов к неточному представлению коэффициентов обратно пропорциональна произведению расстояний между ними, т.е. с увеличением порядка M чувствительность полюсов многократно (на несколько порядков) увеличивается.

Поскольку указанные свойства гребенчатого фильтра полностью определяются свойствами базового НЧФ, то, не смотря на то, что расстояние между полюсами ГФ очень маленькое, фактическая чувствительность полюсов определяется расстоянием между полюсами базового фильтра, у которого оно в υ раз больше. А поскольку количество полюсов (расстояние) равно M, то чувствительность уменьшается в υ^M раз.

3.2.2. Метод синтеза фильтра частотной селекции с прореживанием по частоте в классе КИХ-цепей

Ставится и решается задача реализации узкополосного НЧ-фильтра с заданными свойствами частотной избирательности: α, β, ε_1доп, ε_2доп, ω_с1, ω_с2, при затратах соизмеримых с затратами на основе децимации и интерполяции отсчётов обрабатываемого сигнала, но не использующих эффект децимации.

Структура узкополосного НЧ-фильтра представляет собой последовательное соединение цифрового гребенчатого фильтра с функцией передачи H_ГФ (ω), отличающейся периодической частотной характеристикой 2 π / υ, и сглаживающего или маскирующего фильтра с функцией передачи H_СФ (ω), выделяющего основной лепесток на выходе ГФ и подавляющего все остальные боковые лепестки (рис. 3.29).

Рис. 3.29. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через узкополосный фильтр НЧ, представляющего собой последовательное соединение цифрового гребенчатого фильтра и сглаживающего фильтра.

Данная структура позволяет многократно уменьшить вычислительные затраты по отношению к узкополосному КИХ-фильтру порядка N. Это связано с тем, что гребенчатый фильтр, обеспечивая заданную высокую прямоугольность АЧХ, вследствие периодического характера его частотной характеристики и, как следствие, прореженности импульсной характеристики, требует в υ раз меньше вычислительных затрат. В то же время выходной сглаживающий фильтр имеет порядок N ₂<< N, т.к. переходная зона его АЧХ, как правило, значительно шире полосы пропускания проектируемого фильтра (α ₂<<1).

Вместе с тем, в зависимости от коэффициента децимации υ затраты на реализацию ГФ и на реализацию СФ входят в противоречие, а именно с увеличением коэффициента υ пропорционально уменьшаются затраты на ГФ, но также пропорционально увеличиваются на реализацию СФ. Поэтому возникает задача оптимизации.

Можно показать, что для оптимального значения коэффициента децимации общие вычислительные затраты уменьшаются в раз. Если N достигает тысячи и десятки тысяч единиц, то выигрыш 10÷100 раз.

Вторым по важности достоинством является значительное уменьшение собственного шума. Это связано с тем, что многократно уменьшается число операций умножения с округлением, т.к. на реализацию ГФ требуется N / υ операций, а на реализацию СФ N ₂<< N. При этом собственный шум на выходе ГФ сглаживается последующим СФ. Кроме того, многократно уменьшается память коэффициентов, т.к. импульсная характеристика ГФ содержит N / υ, а СФ – N ₂ отсчётов (N ₂<< N). При этом одновременно значительно упрощается расчёт фильтра, т.к. задача аппроксимации исходного фильтра N сводится к расчёту характеристик двух фильтров существенно меньшего порядка.

Отметим, что при расчёте импульсной характеристики узкополосного фильтра порядка N используется тот факт, что его импульсная характеристика может быть получена путём свёртки импульсных характеристик последовательно соединённых ГФ и СФ.

Недостаток: данный метод не позволяет уменьшить память данных и даже требует его увеличения на величину N ₂.

Трёхкаскадная форма реализации узкополосного фильтра

С тем, чтобы снять пропорциональную зависимость вычислительных затрат на реализацию СФ при увеличении υ, узкополосный СФ представим в виде последовательного соединения дополнительного ГФ и выходного СФ меньшего порядка (рис. 3.30).

Рис. 3.30. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через узкополосный фильтр НЧ, представляющего собой последовательное соединение двух цифровых гребенчатых фильтров и сглаживающего фильтра.

В заключении рассмотрим m -ступенчатую (m -каскадную) структуру узкополосного фильтра, где υ_max =2 ^m.

Особенность данной структуры заключается в том, что каждый последовательный ГФ при каскадном соединении выделяет полосы с чётными номерами и подавляет с нечётными так, что на выходе после m -частотной обработки остаётся одна НЧ-составляющая (рис. 3.31).

Рис. 3.31. Преобразование спектров сигналов при прохождении входного сигнала через узкополосный фильтр НЧ, представляющего собой последовательное соединение m цифровых гребенчатых фильтров и сглаживающего фильтра.

3.2.3. Метод синтеза полосовых БИХ-фильтров с прореживанием по частоте (децимация импульсной характеристики)

Рис. 3.32. Структурная схема фильтра, реализованного по методу синтеза полосовых БИХ-фильтров с прореживанием по частоте.

В рамках данной структуры синтез полосового фильтра с центральной частотой ω ₀ сводится к задаче расчёта НЧ-фильтра по 2 квадратурным каналам (рис. 3.32). Покажем, что подобное соединение ГФ и СФ БИХ-фильтров позволяет в значительной степени уменьшить чувствительность частотных характеристик к неточному представлению коэффициентов.

Рассмотрим пример:

Требуется построить узкополосный НЧ-фильтр Баттерворта со следующими параметрами частотной избирательности: f_c1=10 Гц, f_c2=20 Гц, f≥f_c2 40 дБ, f_кв=10 кГц (рис. 3.33).

Рис. 3.33. Построение узкополосного НЧ-фильтра при помощи гребенчатого и сглаживающего фильтров меньших порядков.

Поставленную задачу решает фильтр Баттерворта, порядок которого равен 7 (M =7).

Однако при этом для обеспечения устойчивой работы требуемая точность представления коэффициентов q ≥54 бит. Следовательно, фильтр неработоспособен. Поэтому предлагается двухкаскадная реализация.

Первый каскад: базовый НЧ-фильтр – фильтр Баттерворта 7-го порядка, затухание АЧХ которого равно -3 дБ на частоте f_{c 11} = 10 Гц и не менее -40 дБ на частоте f_{c 21} = 20 Гц. При этом частота дискретизации f_кв2 = 400 Гц, что соответствует коэффициенту прореживания импульсной характеристики ЦГФ υ =25.

Второй каскад: СФ – фильтр Баттерворта третьего порядка с частотой среза f_{c 21}=80Гц на уровне -3 дБ и подавлением -40 дБ, начиная с частоты f_{c 22}=380Гц.

Как показали расчёты, для реализации данных фильтров достаточна разрядность коэффициентов q ₁= q ₂=16.

4. Эффекты к оне чной разрядности чисел в цифровых цепях

Дата добавления: 2014-01-04