Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Постановка задачи

Интерполирование

 

Пусть величина y является функцией аргумента x. Это значит, что любому значению x из области определения поставлено в соответствие значение y. На практике часто неизвестна связь между y и x, т.е. невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости (формулы) y = f (x).

Часто эта связь задана в виде некоторой таблицы {xi, yi}. Это означает, что дискретному множеству значений аргумента {xi} поставлено в соответствие множество значений {yi} (i = 0, 1, …, n). Значения являются результатами расчетов или экспериментальными данными.

Пример: опытным путем определили зависимость предела прочности (σв) стали 20 при статическом растяжении от температуры испытания ( t) (см. табл. 5.1).

Таблица 5.1

Опытные данные по исследованию σв в зависимости от t

t, ˚С              
σв, МПа              

С точки зрения математики t это x, а σвy. Нам могут понадобиться значения величины y и в других точках, отличных от узлов xi. Имеющиеся табличные данные необходимо использовать для приближенного вычисления искомого параметра y при любом значении (из заданной области) определяющего параметра x. Напомним, что точная связь y=f(x) неизвестна.

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации) функций: данную функцию f(x) требуется приближенно заменить (аппроксимировать) некоторой функцией φ(x), так, чтобы отклонение φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция φ(x) называется аппроксимирующей.

На практике часто аппроксимирующая функция является многочленом

φ(x)=, (5.1)

где m – степень многочлена. Коэффициенты (j=0,1, …,m) подбираются так, чтобы достичь наименьшего отклонения многочлена φ(x) от функции f(x).

Одним из основных типов аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в следующем: для данной функции f(x) строится многочлен (5.1), принимающий в заданных точках , те же значения , что и функция f(х), т. е.

φ(хi) = , i=0,1, …, n. (5.2)

Точки называются узлами интерполяции, а многочлен φ(х)интерполяционным многочленом.

Таким образом, близость интерполяционного многочлена φ(х) к заданной функции f(х) состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Графики заданной функции f(х) и интерполяционного многочлена φ(х)

 

Максимальная степень интерполяционного многочлена m=n, где n – заданное число значений (число опытных точек). В этом случае говорят о глобальной интерполяции, т. к. один многочлен

φ(х)= (5.3)

используется для интерполяции функции f(х) на всем рассматриваемом интервале изменения х. Коэффициенты многочлена (5.3) находятся из решения

системы уравнения (5.2).

Интерполяционные многочлены могут строиться отдельно для разных частей рассматриваемого интервала изменения х. В этом случае имеем кусочную (или локальную) интерполяцию. В качестве локальной интерполяции часто используют линейную и квадратичную интерполяцию.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Пример решения системы линейных уравнений методом Зейделя | Линейная интерполяция
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 338; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.