Разложение вектора в ортогональном базисе

Рассмотрим базис пространства , в котором каждый вектор ортогонален остальным векторам базиса:

, , , . (24)

Ортогональные базисы хорошо представимы на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим разложение произвольного вектора в ортогональном базисе (24). Составим разложение этого вектора с неизвестными пока координатами разложения в данном базисе:

(25)

Умножим обе части этого равенства, представляющие собой векторы, на вектор . В силу свойств 2 и 3 скалярного произведения векторов имеем

.

Однако в силу взаимной ортогональности векторов базиса (24) все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле

Умножая поочередно равенство (25) на другие базисные векторы, получаем простую формулу для вычисления коэффициентов разложения вектора :

(26)

Соотношения (26) имеют смысл, при .

Выделим особый случай ортогонального базиса, когда все векторы в (24) имеют единичную длину или нормированы по своей длине. В таком случае базис называют ортонормированным, и координаты разложения (26) имеют наиболее простой вид:

Дата добавления: 2014-01-05