Характеристический полином матрицы

Определение 2.11.1. Матрица , где , — произвольный параметр, называется характеристической матрицей для матрицы.

Определение 2.11.2. Определитель характеристической матрицы называется характеристическим полиномом матрицы .

Теорема 2.11.1. Степень характеристического полинома квадратной матрицы равна n.

Доказательство. Пусть характеристический полином . Как известно, определитель равен сумме произведений элементов характеристической матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Очевидно, что все указанные слагаемые являются полиномами от параметра . При этом наивысшую степень имеет слагаемое , поскольку все остальные слагаемые не будут содержать, по крайней мере, двух элементов, стоящих на главной диагонали матрицы , следовательно, их степень не превосходит . Поэтому

, ,

причем

, .

Определение 2.11.3. Сумма элементов, стоящих по главной диагонали матрицы , называется следом этой матрицы и обозначается , т. е.

.

Определение 2.11.4. Корни полинома называются собственными значениями матрицы .

Пусть — произвольный полином степени m.

Определение 2.11.5. Под записью , где — квадратная матрица, будем понимать матрицу

.

Определение 2.11.6. Матрица называется аннулирующей для полинома , если 0.

Теорема 2.11.2 (теорема Гамильтона-Кэли). Любая квадратная матрица является аннулирующей для своего характеристического полинома.

Доказательство. Пусть

,

а— присоединенная матрица к характеристической матрице . Элементами матрицы служат алгебраические дополнения элементов матрицы , с точностью до знака совпадающие с минорами порядка . Поэтому каждый элемент есть полином, степень которого не превосходит . Следовательно,

,

где , — постоянные матрицы.

Вычислим произведение двух матриц

.

Так как P присоединенная матрица, то , т. е.

.

Сравнивая матрицы при одинаковых степенях параметра , получаем следующие матричные соотношения:

,

,

,

,

.

Умножая обе части первого равенства на , второго — на , третьего — на и т. д., а затем, складывая все вновь полученные равенства, имеем соотношение

.

В результате сокращений в левой части последнего матричного соотношения, получаем

0 ,

т. е. 0.

Дата добавления: 2014-01-05