Значения числа для некоторых сред

Запишем это уравнение в безразмерном виде

Число называется диффузионным числом Пекле.

Диффузионное подобие

Числа подобия для диффузионных процессов можно легко получить из уравнения диффузии вещества. Для одномерного движения уравнение молекулярной диффузии будет иметь вид

,

где - коэффициент диффузии.

Заменим в этом уравнении все величины безразмерными и характерными значениями (масштабами):

Безразмерное число называется диффузионным числом Фурье. Очевидно, что оно аналогично тепловому числу Фурье. При конвективном переносе вещества для одномерного движения воспользуемся уравнением

Проделав аналогичные преобразования, получим

Число Ре_Д подобно числу Re определяет структуру потока. По тому велико ли число Rе_д по сравнению с единицей или мало можно судить о том или ином характере переноса вещества. В первом случае молекулярной диффузией можно пренебречь по сравнению с конвективным переносом вещества, во втором — наоборот, молекулярная диффузия является определяющей.

Поделив число Ре на число Re, получим диффузионное число Прандтля Рr_д, равное отношению кинематической вязкости к коэффициенту диффузии:

Во многих работах число Рr_д называется числом Шмидта.

Напишем теперь уравнение переноса вещества применительно к разности концентраций на стенке и в окружающей среде:

где a_д — коэффициент переноса массы; c₁ — концентрация веще­ства в окружающей среде; c_w — концентрация вещества на стенке.

или

.

Тогда получим локальное число Nu, равное

Аналогично тепловому числу Nu можно, воспользовавшись средним коэффициентом переноса вещества a_ср.д, ввести среднее диффузионное число Нуссельта.

Для газа числовое значение коэффициентов диффузии и вяз­кости имеет один порядок, поэтому число Рr_д ~ 1. Иначе обстоит дело в жидкостях. Коэффициент кинематической вязкости подвижных жидкостей типа воды составляет около 10^-2 см²/с. Коэффициент диффузии молекул и ионов в водных растворах имеет порядок D = 10^-5 см²/с, макромолекул —D = 10^-6 см²/с. Поэтому в воде и сходных жидкостях число Рr_д будет ~ 10³. При возрастании вязкости коэффициент диффузии уменьшается по закону

,

поэтому число Рr_д растет с увеличением вязкости пропорционально квадрату последней. В вязких жидкостях число Рr_д достигает значения 10⁶ и более. Для жидких металлов число Рr_д значительно меньше единицы. Значения Рr_д для некоторых сред приведены в табл. 10.3.

Таблица 10.3

Диффундиру-ющее вещество	Среда, в кото­рой происходит диффузия	Температура среды, °С	D, м^2/c,	PrД
Hg	N2		3,25. 10-^3	0,000424
С02	Н2		6,05 × 10-^5	0,158
NНз	Воздух		2,17 × 10-^5	0,634
02	N2		2,03 × 10-^5	0,681
НС1	Н20		2,23 × 10-^6	0,81
С6Н6	Воздух		7,5 × 10-^6	1,83
С6Н6	Н2		2,94 × 10^-5	3,26

Следует отметить, что для газов тепловое и диффузионное числа Рr имеют одинаковый порядок, поэтому процессы переноса тепла и вещества в газах аналогичны, но процессы переноса тепла и вещества в жидкостях сильно отличаются друг от друга, так как сильно отличаются числа Рr и Рr_д.

10.5. Подобие некоторых частных случаев переноса

Известно, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, называемая гидростатической или архимедовой. Ее величина равна весу вытесненной телом жидкости и направлена в сторону, противоположную направлению сил тяжести. Архимедова сила имеет важное значение не только при плавании твердых тел в жидкостях и газах, но и в случаях, когда в жидкостях и газах имеются частицы с удельным весом, отличным от удельного веса среды.

Неодинаковость плотностей частиц и среды может возник­нуть по различным причинам. Прежде всего, частицы по своим физическим свойствам могут отличаться от жидкости, в которую они погружены (капли масла в воде). В этом случае плотности, а следовательно, и удельные веса частиц и жидкости различны, и критерием подобия будет общеизвестное число Архимеда, равное

где r и r₁ — плотность частиц и жидкости.

Если в жидкости изменение плотности вызвано изменением температуры, то критерием подобия в этом случае будет так назы­ваемое число Грасгофа

где b - коэффициент объемного расширения, определяемый из соотношения

Для общности наименований целесообразно число Грасгофа называть тепловым числом Архимеда.

Гидростатическая сила может появиться и при различии кон­центрации примеси в некоторой среде. В этом случае критерием подобия будет диффузионное число Архимеда

где Dc—разность концентраций вещества в среде и на стенке; x — коэффициент (аналогичный b), характеризующий относи­тельное изменение плотности в зависимости от концентрации,

В литературе иногда это число называют диффузионным числом Грасгофа.

Динамическое, тепловое и диффузионное числа Архимеда могут быть получены из соответствующего анализа уравнения движения в форме

.

Проделав соответствующие операции с последним уравнением, получим динамическое число Нуссельта

В тех случаях, когда в жидкости велики силы поверхностного натяжения, основным критерием подобия является число Вебера

где s - коэффициент поверхностного натяжения.

Число Вебера выражает собой отношение сил инерции к силам поверхностного натяжения.

Примером задачи, в которой число Вебера является определяю­щим параметром, может служить задача о форме и устойчивости струи жидкости, вытекающей из центробежной форсунки. Если взять за характерный размер радиус выходного отверстия r, а за характерную скорость — скорость истечения в выходном сечении V, то число Вебера будет иметь вид

Исследования формы факела показали, что с уменьшением числа We угол конусности факела растет и расстояние от форсунки до точки распада жидкости на капли убывает. Число We имеет существенное значение при изучении процес­сов перемешивания взаимно нерастворимых жидкостей. Вероят­ность дробления капель в мешалках определяется в зависимости от числа We, представленного в виде

где n и d — частота вращения и диаметр мешалки; s — межфазное натяжение.

С увеличением числа We диаметр капель уменьшается и меж­фазная поверхность растет.

При изучении потоков в различных вакуумных установках и в разреженных газах определяющим параметром при моделиро­вании является число Кнудсена. Оно равно отношению средней длины свободного пробега молекулы l к характерному линейному размеру модели b:

.

Известно, что длину свободного пробега молекул можно опре­делить по формуле

Следовательно, при постоянном k

~

т. е. число Кn пропорционально числу М и обратно пропорцио­нально числу Re.

Область возможного применения законов обычной аэродина­мики с использованием граничного условия о равенстве нулю касательной составляющей скорости на поверхности обтекаемого тела характеризуется неравенством

. K_n= <0,001.

В области чисел Кнудсена 0,001—0,1 следует рассматривать задачу о течении со скольжением.

При числе Кn > 1,0 нарушается сплошность среды и имеет место свободное молекулярное течение, в которой применимы законы кинематической теории газов.

10.6. Некоторые обобщения подобий

Легко видеть, что тепловое и динамическое числа Пекле по физическому смыслу и по форме аналогичны числу Рейнольдса. Следовательно, можно ввести три числа Рейнольдса - динамическое, тепловое и диффузионное, равные:

Таблица 10.4

Дата добавления: 2014-01-05