Диффузия в цилиндре с постоянной концентрацией на поверхности

Диффузия в среде с цилиндрической симметрией

Уравнение (4.14) для радиального потока в цилиндре преобразуется в уравнение Бесселя нулевого порядка. Его решение выражается через соответствующие функции Бесселя, выбор которых зависит от граничных и начальных условий.

Распределение концентрации диффундирующего вещества в цилиндре радиусом r_ц при постоянной концентрации С₁ на поверхности выражается уравнением

,

где:

a_n – n-й корень уравнения I₀ (a_nr_ц) = 0;

I₀ (x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка;

I¢₀ (х) – ее дифференциал.

Первые четыре корня уравнения I₀ (a_nr_ц) равны

;;;. (4.15)

Эти корни дают четыре члена бесконечного ряда, которых достаточно для практических целей. При больших значениях t обычно ограничиваются одним членом функции Бесселя. Данная функция I₀ (x) и ее дифференциал I¢₀ (х) даются рядами

; (4.16)

(4.17)

Их значения приводятся в специальных таблицах.

Количество вещества m_в, продиффундировавшего через единицу длины цилиндра за время t, определяется выражением

,

где первые четыре значения а рассчитываются по формулам (4.15).

Диффузия в цилиндре с начальным распределением концентраций С = f(r)

Распределение концентрации растворенного вещества в текущий момент времени t при граничных и начальных условиях: С₁ = 0 при r = r_ц для всех t, С = f(r) для r_ц < r < 0 при t = 0 следующее:

.

При f(r) = С₀

.

Значения a_n, I₀(a_n, r) и I¢₀(a_nr_ц) находят по соотношениям (4.15) – (4.17).

Количество растворенного вещества, продиффундировавшего из цилиндра через единицу его длины, рассчитывается по формуле

.

Если граничные и начальные условия имеют вид С = С₁ при r = r_ц для всех t, С = f(х) для r_ц < r < 0 и t = 0, распределение концентрации растворенного вещества определяется выражением

.

При f(r) = С₀

.

Рис. 4.7. Зависимость коэффициентов a¹ и b¹ от параметра e

Рис. 4.8. График функции x(t) для случаев растворения в матрице плоского (1),

цилиндрического (2) и сферического (3) включений

Дата добавления: 2014-01-05