Введение понятия функции

Лекция 2

Введение понятия функции — длительный процесс, завершаю­щийся формированием представлений о всех компонентах этого понятия в их взаимной связи и о роли, играемой им в математике и в ее приложениях. Этот процесс ведется по трем основным направлениям:

— упорядочение имеющихся представлений о функции, развертывание системы понятий, характерных для функциональной
линии (способы задания и общие свойства функций, графическое
истолкование области определения, области значений, возрастания и т. д. на основе метода координат);

— глубокое изучение отдельных функций и их классов;

— расширение области приложений алгебры за счет включения в нее идеи функции и разветвленной системы действий с функ­цией.

Первое из этих направлений проявляется в курсе школьной ал­гебры ранее остальных. Его рассмотрение составляет содержание этого параграфа,

В реализации этого направления значительное место отводится усвоению важного представления, входящего в понятие функции,— однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции. Для рассмотрения этого вопроса привлекаются различные способы задания функции.

Чаще других в математике и ее приложениях применяется задание функции формулой. Все другие способы играют подчи­ненную роль. Именно поэтому после первого знакомства с несколь­кими такими способами основное внимание в обучении уделяется тем функциям и классам, которые имеют стандартную алгебраи­ческую форму их выражения. Однако при введении понятия со­поставление разных способов задания функции выполняет важную роль. Во-первых, оно связано с практической потребностью: и таб­лицы, и графики, как правило, служат для удобного в определенных обстоятельствах представления функции, имеющей аналитическую форму записи. Во-вторых, оно важно для усвоения всего много­образия аспектов понятия функции. Формула выражает функцию лишь будучи включенной в соответствующую систему представлений и операций, а эта система такова, что различные компоненты понятия функции могут быть отображены наиболее естественно различными средствами. Использование перевода задания функ­ции из одной формы представления в другую — необходимый ме­тодический прием при введении понятия функции.

Реализация этого приема состоит в использовании системы заданий, в которых представлены все случаи такого перевода, Мы рассмотрим методику работы с этими заданиями только на этапе первоначального ознакомления с понятием функции, на других этапах она может быть совершенно иной. На рассмотренном этапе учащиеся еще не знают общего вида графика линейной функции.. Поэтому график функции у=4х+1 они могут построить только по точкам. Учитель может обратить внимание на то, что по точкам нельзя построить целиком график функции, если она определена на бесконечном множестве, но заметно, что эти точки лежат на прямой; оказывается, что это замечание верно. Таким образом, можно установить связи с дальнейшим изучением материала. Способ построения графика функции по точкам ил­люстрируется заданием в); пользуясь конкретным содержанием задания, учитель может отметить, что предлагаемые учащимися графики могут отличаться от действительного положения, но что на практике этим приемом часто приходится пользоваться (ин­терполяция). В задании б) можно отметить связь функциональных представлений с числовой системой — с понятиями точного и при­ближенного числового значения. С их сопоставлением постоянно приходится сталкиваться при построении графиков, потому что наносить точки на график можно лишь с ограниченной точностью.

Задания второго типа можно связать с оптимизацией пред­ставления функции без изменения средств представления. Наибо­лее типичное такое задание — упростить формулу, задающую функцию. На этапе -введения понятия функции можно рассмотреть несколько таких заданий с целью показать, что одна и та же функция может определяться различными формулами. Задания, относящиеся к таблицам (перестроить данную таблицу) и к графикам (например, изобразить часть графика в более крупном масштабе), применя­ются в практике обучения нечасто, однако совсем пренебрегать ими нельзя.

Связь функциональной линии с числовой системой на этапе первоначального введения функции осуществляется при вычисле­нии значений функции по формуле или описанию ее в словесной форме. При выполнении таких заданий необходимо довести до полной ясности следующую мысль: если о некоторой функции из­вестно, что она определена на множестве М, то это значит, что для каждого х£М можно найти соответствующее значение f (х). Для числовых функций, определенных на числовых промежутках, это означает, что f (х) можно найти, вычислить, какое бы число ни взять из промежутка, на котором задана функция, независимо от той числовой области, которой принадлежит это число.

Большинство изучаемых в школьной математике функций об­разует классы, обладающие общностью аналитического способа задания функций из него, сходными особенностями графиков, областей применения. В начале курса алгебры, когда внимание сосредоточено на выявлении основных понятий функциональной линии, каждая рассматриваемая функция представлена в виде объекта, до некоторой степени уникального, мысль о сходстве свойств различных функций еще не рассматривается в обучении. Освоение индивидуально заданной функции происходит поэтому в сопоставлении черт, специфических для нее, с общим представле­нием о функции непосредственно, без выделения промежуточных звеньев.

Дата добавления: 2014-01-05