КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры уравнений линий в пространстве
Пример 1. Уравнения относительно декартовой прямоугольной системы координат выражают окружность С радиуса а с центром в начале координат, лежащую в плоскости хОу, так как первое уравнение, т. е. есть уравнение круглого цилиндра радиуса а, осью которого является Оz, a z= 0 есть уравнение плоскости хОу. Эти две поверхности пересекаются по окружности С. Пример 2. Пусть точка М движется равномерно по окружности радиуса a так, что радиус ОМ этой окружности вращается с постоянной угловой скоростью , а плоскость окружности движется равномерно и поступательно в пространстве так, что ее центр перемещается по прямой, перпендикулярной плоскости окружности, с постоянной скоростью . Тогда точка М описывает линию, называемую обыкновенной винтовой линией. Примем центр окружности в начальном ее положении за начало координат, плоскость, в которой она расположена - за плоскость хОу, а прямую, проходящую через центр окружности перпендикулярно ее плоскости - за ось Оz (рис. 68) (оси Ох и Оу взаимно перпендикулярны). Рис. 68 Рис. 69 Пусть М 0(а, 0, 0) - начальное положение движущейся точки. За время t точка М 0 пройдет по окружности дугу, равную , а в направлении оси Оz пройдет путь t, Следовательно, ее координаты в момент t будут: x=acost, y = asin t, z=t. Произведем замену параметра, полагая где , получим x = acos u, y = asin u, z = ku. (1) Эти уравнения и являются параметрическими уравнениями винтовой линии. Они выражают закон движения точки по этой винтовой линии. Параметр и принимает все, действительные значения. Если заменить на противоположное направление вращения радиуса (или перемещение плоскости окружности), то получим винтовую линию противоположной нарезки.
Различают правую и левую винтовые линии (рис. 69). Математически имеет смысл говорить лишь о винтовых линиях противоположных или одинаковых ориентации; понятие о правой и левой винтовых линиях имеет лишь физический смысл. Пример 3. Рассмотрим параметрические уравнения сферы с центром в начале координат и радиусом а (система координат декартова прямоугольная): ,
Координатными линиями u=С, где С - число из полуинтервала [0,2), являются сечения этой сферы полуплоскостями, проходящими через ось Оz; это - полумеридианы сферы (если за полюсы принять точки (0,0,±)). Координатными линиями =С, где С— число из интервала , являются сечения сферы плоскостями, перпендикулярными оси Оz; это - параллели. Уравнения выполняются соот-ветственно только для полюсов , . Пример 4. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью Oz. Уравнение этого цилиндра можно записать в виде , но можно записать и в параметрической форме: где где (D) где и -угол от оси Ох до луча ОМ', а М'- проекция произвольной точки М (х,у,z), лежащей на поверхности цилиндра, в плоскость хОу. Линейное однородное уравнение =ku, где есть внутреннее уравнение винтовой линии, лежащей на рассматриваемом цилиндре. Параметрические уравнения этой винтовой линии; x=acosu, y=asinu, z=ku (см. уравнения (1) примера 2 этого параграфа). В заключение отметим координатные линии цилиндра, заданного параметрическими уравнениями (1). Линии и=С -это прямолинейные образующие цилиндра, так как если и имеет постоянное значение из полуинтервала [0,2), то точка М (х,у,z) поверхности цилиндра проектируется в фиксированную точку М' (acos С ,asinС, 0), и при изменении от -до + точка М (acosС,аsinС,) описывает прямолинейную образующую, проходящую через точку М'. Линии =C (где С-любое число) являются окружностями, по которым плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает этот цилиндр.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 853; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |