Связь между проекцией и линейными операторами

Мы рассмотрим следующие свойства проекций векторов:

1°.

2°.

3°.

4°.

Докажем сначала первое из них.

Теорема 1. Проекция суммы двух векторов на ось равна (геометрической) сумме проекций этих векторов на данную ось. (Здесь проекция понимается как вектор.)

Доказательство. Пусть a и b − данные векторы, l − ось, на которую мы их проек­тируем. (Кстати, в формулировке всех четырёх утверждений можно заменить ось на лю­бой ненулевой вектор.) Реализуем вектор a как направленный отрезок . К его концу приложим вектор b, т. е. найдём такую точку C, чтобы = b. (Это возможно, притом единственным образом.) Обозначим проекции точек A, B и C через A ¢, B ¢ и C ¢ соответст­венно. Тогда

QED.

Лемма. Координаты вектора суть величины проекций вектора на координатные оси.

Доказательство проведём для абсцисс, для других координат − аналогично. Пусть дан вектор a, который будем представлять приложенным к началу координат: a = . Пусть Q − проекция точки M на координатную плоскость xOy. Разложим наш вектор a в сумму трёх:

a = =+=++,

где P и R − ортогональные проекции точки Q на оси абсцисс и ординат соответственно. Однозначным образом найдутся такие числа λ, m и n, что

= λ e ₁, = m e ₂, = n e ₃.

Эти числа мы назвали координатами вектора (см. п. 1.2.1, конец лекции № 3).

Теперь заметим, что отрезок MP по школьной теореме о трёх перпендикулярах перпендикулярен оси абсцисс, так что точка P есть (ортогональная) проекция точки M на ось абсцисс. Следовательно, вектор есть проекция вектора a на ось абсцисс. С другой стороны, число λ равно величине вектора , т. е. его длине со знаком плюс, если он сонаправлен с осью абсцисс, и со знаком минус, если они противоположно направлены. Отсюда получаем требуемое утверждение.

Теорема 2. Величина проекции суммы двух векторов на ось равна сумме величин проекций этих векторов на данную ось. (Здесь уже речь идёт о проекции как числе, снаб­жённом знаком.)

Доказательство. Введём в пространстве декартову прямоугольную систему коор­динат так, чтобы данная ось служила осью абсцисс. (Это можно сделать многими спосо­бами.) Тогда по лемме

Pr _l (a + b) = abs (a + b) = abs a + abs b = Pr _la + Pr _lb,

QED. Аналогично доказываются свойства 2 и 4 проекций.

Дата добавления: 2014-01-05