Доказательство линейности векторного произведения

Свойства смешанного произведения

1°. Абсолютная величина смешанного произведения равна объёму параллелепи­педа, построенного на трёх данных векторах, если их привести к общему началу.

2°. Если (a, b, c) > 0, то векторы a, b и c образуют правую тройку.

Если (a, b, c) < 0, то векторы a, b и c образуют левую тройку.

Если (a, b, c) = 0, то векторы a, b и c компланарны.

Докажем утверждение 1°. Можно считать, что векторы a и b неколлинеарны. В противном случае параллелепипед вырождается в параллелограмм (или даже в отрезок, если все три вектора коллинеарны). Тогда можно считать, что объём параллелепипеда ра­вен нулю, но и смешанное произведение будет равно нулю, т. к. [ a, b ] = 0, так что в этом случае утверждение 1° (условно) выполняется.

Итак, пусть векторы a и b неколлинеарны. Тогда однозначно определена проходя­щая через них плоскость π. Условно будем считать её горизонтальной. Заметим, что век­тор [ a, b ] перпендикулярен π, т. е. торчит вертикально вверх или вниз. Высота H нашего параллелепипеда будет тогда равна абсолютной величине проекции вектора c на [ a, b ], а площадь основания S − площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, т. е. длине вектора [ a, b ]. Имеем:

|(a, b, c)| = |([ a, b ], c)| = |[ a, b ]|∙|pr_{[ a, b ]} c | = SH = V,

т. е. объёму параллелепипеда, QED.

Для доказательства утверждения 2° достаточно заметить, что если (a, b, c) = = ([ a, b ], c) > 0, то скалярное произведение [ a, b ] на c положительно, угол между [ a, b ] и c меньше 90°, и вектор c кончается в том же полупространстве, что и [ a, b ], что и означает, что тройка a, b и c − правая (т. к. тройка a, b, [ a, b ] всегда правая).

Наоборот, если (a, b, c) = ([ a, b ], c) < 0, то скалярное произведение [ a, b ] на c отри­цательно, угол между [ a, b ] и c больше 90°, и вектор c кончается в другом полупростран­стве, нежели [ a, b ], что и означает, что тройка a, b и c − левая.

Если же (a, b, c) = ([ a, b ], c) = 0, то это означает, что вектор c перпендикулярен [ a, b ], т. е. лежит в плоскости π, и все три вектора компланарны (т. к. все три лежат в од­ной и той же плоскости π).

Предложение (критерий компланарности). Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. В одну сторону это вытекает из нашего пункта 2°. Пусть теперь векторы компланарны. Тогда вектор c перпендикулярен вектору [ a, b ], и скалярное произ­ведение ([ a, b ], c) = 0, но оно как раз равно смешанному произведению (a, b, c).

Мы теперь в состоянии доказать формулу:

[ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ].

Доказательству предпошлём лемму:

Лемма. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак (не меняя абсолютной величины).

В самом деле, абсолютная величина не меняется, т. к. и то, и другое равно объёму параллелепипеда; что же касается знака, он меняется на противоположный, т. к. меняется ориентация тройки (левая переходит в правую, и наоборот).

Обозначим теперь через h вектор, равный [ a + b, c ] − [ a, c ] − [ b, c ]. Нам достаточно доказать, что он равен 0. Вместо этого докажем, что его скалярный квадрат равен нулю. (Отсюда будет вытекать, что квадрат длины равен 0, значит, длина равна 0 и, значит, сам вектор равен 0.) Вычисляем скалярный квадрат:

(h, h) = ([ a + b, c ] − [ a, c ] − [ b, c ], h) =

= ([ a + b, c ], h) − ([ a, c ], h) − ([ b, c ], h) =

= (a + b, c, h) − (a, c, h) − (b, c, h) =

= −(h, c, a + b) + (h, c, a) + (h, c, b) =

= −([ h, c ], a + b) + ([ h, c ], a) + ([ h, c ], b) = 0

в силу линейности скалярного произведения, QED.

Глава 2. Линейные уравнения на плоскости и в пространстве

Дата добавления: 2014-01-05