КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Линейная независимость
Каждую строку матрицы А обозначим еi = (ai1 ai2 …, ain) (например, Линейной комбинацией строк el, e2,...ek называют сумму произведений этих строк на произвольные действительные числа:
Строки матрицы el, e2,...em называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ll, l2,..., lm, не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке: Линейная зависимость строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных. Действительно, пусть для определенности последний коэффициент lm ¹ 0. Тогда, разделив обе части равенства на lm, получим выражение для последней строки, как линейной комбинации остальных строк:
Если линейная комбинация строк равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, т.е. llel + l2e2 +...+ lmem = 0 Û lk = 0 "k, то строки называют линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые можно линейно выразить все остальные ее строки или столбцы.
Докажем эту теорему. Пусть матрица А размера m х n имеет ранг r (r(А) £ min {m; n}). Следовательно, существует отличный от нуля минор r-го порядка. Всякий такой минор будем называть базисным. Пусть для определенности это минор Строки этого минора также будем называть базисными.
Докажем, что тогда строки матрицы el, e2,...er линейно независимы. Предположим противное, т.е. одна из этих строк, например r-я, является линейной комбинацией остальных: er = llel + l2e2 +...+ lr-1er-1 = 0. Тогда, если вычесть из элементов r-й строки элементы 1-й строки, умноженные на ll, элементы 2-й строки, умноженные на l2, и т.д., наконец, элементы (r-1)-й строки, умноженные на lr-1, то r-я строка станет нулевой. При этом по свойствам определителя вышеприведенный определитель не должен измениться, и при этом должен быть равен нулю. Получено противоречие, линейная независимость строк доказана.
Теперь докажем, что любые (r+1) строк матрицы линейно зависимы, т.е. любую строку можно выразить через базисные.
Дополним рассмотренный ранее минор еще одной строкой (i-й) и еще одним столбцом (j-м). В результате получим минор (r+1)-го порядка, который по определению ранга равен нулю: Разложим его по элементам j-го столбца . Здесь последнее алгебраическое дополнение Аij совпадает с базисным минором D ¹ 0 Þ Аij ¹ 0. Поэтому можно разделить обе части последнего равенства на Аij. Это позволит выразить из него элемент:. Если зафиксировать номер строки (i), то получим, что для любого j элементы i-й строки линейно выражаются через элементы базисных строк: , т.е. любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных. Теорема доказана.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 328; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |