Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Алгебраическая форма записи

Свойства комплексных чисел

Определение комплексного числа

Множество комплексных чисел определяется, как множество упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа и обозначаются y = Im z.

Два комплексных числа z ₁, z ₂ равны z ₁ = z ₂, если равны их вещественные и мнимые части

z ₁ = z ₂ Û { Re z ₁ = Re z ₂, Im z ₁ = Im z ₂ }.

Операции сложения и умножения определяются по следующим правилам:

Сложение z ₁ = (x ₁ ,y ₁), z ₂ = (x ₂ ,y ₂), z ₁ + z ₂ = (x ₁ + x ₂ , y ₁ + y ₂).

Сложение комплексных чисел

Умножение.

Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).

Геометрическая интерпретация. Комплексное число z= (x,y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x,y). Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.

Рис. 1.4

Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1) z ₁ +z ₂ = z ₁ + z ₂ .

2) z ₁ + (z ₂ + z ₃) = (z ₁ + z ₂) + z ₃.

3) обозначим = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено z + = z.

4) " zÎ C можно определить противоположное комплексное число -z= (- x,-y), которое обладает следующим свойством:.

5) z ₁ z ₂ = z ₂ z ₁.

6) z ₁ (z ₂ z ₃) = (z ₁ z ₂) z ₃.

7) определим комплексную единицу: = (1,0), тогда "z: z = z.

8) для "z¹ существует обратное комплексное число z ^-1:

Существование обратного числа. Пусть z= (x,y). Будем искать число

z ^-1 =(u,v), удовлетворяющее нужным свойствам:. Решая эту систему, получим

.

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле.

9) Свойвство дистибутивности: z ₁(z ₂ +z ₃) =z ₁ z ₂ +z ₁ z ₃.

Рассмотрим отображение c (x)из R в C:, где xÎR, C. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим С. Отображение c (x) взаимно-однозначно, причем

1) c (x+y) = c (x) +c (y).

2) c (xy) = c (x) c (y).

3) c (0) =

4) c (1) =

Следствие: c (-x) =-c (x), c (x ^-1) =c (x)^-1 или c (1/ x)=1/ c (x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.

Мнимая единица. Введем обозначение i= (0,1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Отметим, что

Рассмотрим запись x+iy= (x,0)+(0,1)(y, 0)=(x,y) =z, таким образом можно записать z= (x,y) =x+iy. Представление комплексного числа z= (x,y) =x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y) =iy называется мнимой осью.

Для z= (x,y), определяется комплексно сопряженное число. На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.

Модуль комплексного числа определяется по формуле:. Отметим, что.

Рис. 1.5

Пример. Для представления комплексного числа в алгебраической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя:. В результате получим:

Определение аргумента комплексного числа.

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2p). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg. Например, для первой четверти комплексной плоскости arg z = arctg y/x.

Тригонометрическая форма представления комплексного числа:

z = x + iy = r (cos j + i sin j), (1)

где j = Arg z,.

Рис. 1.6

Формулы Эйлера.

Введем обозначения

e^{i j} = cos j + i sin j, откуда следует, что

cos j =, sin j =.

Замечание. Определение комплексного числа e^z в общем случае z=x+iy производится по формуле.

Свойства символа e^{i j}. Непосредственно из определения следует

e^{i (j+y)} = e^{i j} e^{i y}, Þ (e^{i j}) ⁿ=e^{in j}.

Проверка: =

+.

С другой стороны тоже самое получится, если перемножить:

= +

+.

Используя обозначение e^{i j} комплексное число можно представить в виде

z = re^{i j} (2)

Выражения (1) и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.

Дата добавления: 2014-01-05