КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o
Бесконечно малые и бесконечно большие функции Арифметические операции над пределами Переход к пределу в неравенствах Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) £ g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B. Аналогично, для случая f (x) <g (x). Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) < g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B. Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне. Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы. 1),, если $. 2), если существуют конечные пределы,. 3), если существуют конечные пределы,. Следствие:, если существует конечный предел. 4) $ Þ$ 5) g(x)¹0,, $ Þ$ Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов. Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f (x) такая, что Свойства бесконечно малых функций 1) Критерий существования конечного предела функции Û $ б.м. функция a(x) при x®x 0: f (x) =A+ a(x). 2) a(x),b(x) б.м. Þ a(x) + b(x) б.м.. 3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией. 4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией. Определние. f (x), определенная в проколотой окрестности x 0, называется бесконечно большой б.б. в т. x 0, если. 5) Если a(x) б.м. при x®x 0 и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥. Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x 0. Пишут,если . Аналогично определяется O при x®x 0+0, x®x 0 - 0, x® ±¥, x® ¥. Пример: f (x) =O (1), x® ¥ означает локальную ограниченность функции в ¥. Определение. Если при x®x 0, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.
Пример: Функции x 3 ,x 2 являются функциями одного порядка при x® 1. Определение o (о малое). Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x 0. Пишут f (x) =o (g (x)), x®x 0, если $ $ бесконечно малая a(x) при x®x 0 , такая, что " x Î: f (x) = a(x) g (x). Аналогично определяется o при x®x 0+0, x®x 0 - 0, x® ±¥, x® Пример: f (x) =o (1), при x®x 0 означает, что f (x) б.м. при x®x 0. Некоторые примеры работы с символами o для случая x® 0. o (xn) ± o (xn)= o (xn), xm o (xn) = o (xn+m), c o (xn) = o (xn) (c-константа), o (xn) ± o (xn+p) = o (xn), здесь p натуральное. o (xn+p)/ xp= o (xn) В частности, o (xp)/ xp= o (1). o (an xn± an+ 1 xn+ 1±…± an+p xn+p) = o (xn). Если a,b бесконечно малые и b =o (a), то говорят, что b бесконечно малая более высокого порядка, чем a. Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x 0 (говорят так же, в окрестности x 0), если выполнено хотя бы одно из двух условий , (в этом случае g называется главной частью f при x® x 0) (f - главная часть g при x® x 0). Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при x®x 0 . Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе. Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f (x) =h (x) g (x), = 1. Замечание 3. Если, например, g (x)¹0, то первое условие можно записать в виде. Определение. Если для некотрого C выполняется: f (x) ~ C при x®x 0, то f (x) называется бесконечно малой порядка при x®x 0 (- положительное вещественное число). Вместо условия x®x 0 может быть. Если для некотрого C выполняется f (x) ~ C при x®x 0, то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при x®x 0 . Так, например, функция ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2). Если для некотрого C выполняется: f (x) ~ при x®x 0, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®x 0. Если f (x) б.б. при x®¥ и f (x) эквивалентна при x® ¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®¥. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при.
Замечание. Если f (x) б.м. порядка, то 1/ f (x) будет б.б. порядка и наоборот. Примеры. Определить характер функций в 0, 1,+¥. ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2) ~ при x® 1, ~ при x® (бесконечно большая порядка 3). ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2), ~ при x® 1 (бесконечно малая порядка 1), ~ при x® (бесконечно большая порядка 4). Пример. Функция при x® 0 является бесконечно малой порядка. Пример. Функция при x® 1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа, что ~ при x® 1. Пример. = ~, при x®. При вычислении пределов полезна следующая теорема. Теорема. Пусть f эквивалентна f 1, g эквивалентна g 1 при x®x 0. Если существует предел, тогда существует и. Если существует предел, тогда существует и. Пример.. Пример. =1. Пример.. 3.4 Замечательные пределы Замечательные пределы, основные эквивалентности.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 492; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |