Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Сравнение б.м. и б.б. функций. Символы O,o

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Арифметические операции над пределами

Переход к пределу в неравенствах

Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) £ g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.

Аналогично, для случая f (x) <g (x).

Теорема. Если f (x), g (x) определены на, x 0 Î (a,b) и f (x) < g (x) на и существуют пределы, А и B числа, то A £ B.

Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне.

Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.

1),, если $.

2), если существуют конечные пределы,.

3), если существуют конечные пределы,.

Следствие:, если существует конечный предел.

4) $ Þ$

5) g(x)¹0,, $ Þ$

Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.

Определение. Бесконечно малой в x0 называется функция f (x) такая, что

Свойства бесконечно малых функций

1) Критерий существования конечного предела функции

Û $ б.м. функция a(x) при x®x 0: f (x) =A+ a(x).

2) a(x),b(x) б.м. Þ a(x) + b(x) б.м..

3) Произведение б.м. функции на ограниченную является б.м. функцией.

4) Произведение б.м. функций является б.м. функцией.

Определние. f (x), определенная в проколотой окрестности x 0, называется бесконечно большой б.б. в т. x 0, если.

5) Если a(x) б.м. при x®x 0 и a(x)¹0, то 1/a(x) является б.б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/¥=0, 1/0=¥.

Пусть функции f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x 0.

Пишут,если

.

Аналогично определяется O при x®x 0+0, x®x 0 - 0, ±¥, ¥.

Пример: f (x) =O (1), ¥ означает локальную ограниченность функции в ¥.

Определение. Если при x®x 0, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x 3 ,x 2 являются функциями одного порядка при 1.

Определение oмалое). Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x 0. Пишут f (x) =o (g (x)), x®x 0, если $ $ бесконечно малая a(x) при x®x 0 , такая, что

" x Î: f (x) = a(x) g (x).

Аналогично определяется o при x®x 0+0, x®x 0 - 0, ±¥,

Пример: f (x) =o (1), при x®x 0 означает, что f (x) б.м. при x®x 0.

Некоторые примеры работы с символами o для случая 0.

o (xn) ± o (xn)= o (xn),

xm o (xn) = o (xn+m),

c o (xn) = o (xn) (c-константа),

o (xn) ± o (xn+p) = o (xn), здесь p натуральное.

o (xn+p)/ xp= o (xn) В частности, o (xp)/ xp= o (1).

o (an xn± an+ 1 xn+ 1±…± an+p xn+p) = o (xn).

Если a,b бесконечно малые и b =o (a), то говорят, что b бесконечно малая более высокого порядка, чем a.

Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x 0 (говорят так же, в окрестности x 0), если выполнено хотя бы одно из двух условий

, (в этом случае g называется главной частью f при x® x 0)

(f - главная часть g при x® x 0).

Условие эквивалентности записывается в виде f~g, при x®x 0 .

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f (x) =h (x) g (x), = 1.

Замечание 3. Если, например, g (x)¹0, то первое условие можно записать в виде.

Определение. Если для некотрого C выполняется:

f (x) ~ C при x®x 0, то f (x) называется бесконечно малой порядка при x®x 0 (- положительное вещественное число). Вместо условия x®x 0 может быть. Если для некотрого C выполняется f (x) ~ C при x®x 0, то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при x®x 0 .

Так, например, функция ~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2).

Если для некотрого C выполняется: f (x) ~ при x®x 0, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®x 0.

Если f (x) б.б. при x®¥ и f (x) эквивалентна при x® ¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка при x®¥. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при.

Замечание. Если f (x) б.м. порядка, то 1/ f (x) будет б.б. порядка и наоборот.

Примеры. Определить характер функций в 0, 1,+¥.

~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2)

~ при x® 1,

~ при x® (бесконечно большая порядка 3).

~ при x® 0 (бесконечно малая порядка 2),

~ при x® 1 (бесконечно малая порядка 1),

~ при x® (бесконечно большая порядка 4).

Пример. Функция при 0 является бесконечно малой порядка.

Пример. Функция при 1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа, что ~ при 1.

Пример. = ~, при x®.

При вычислении пределов полезна следующая теорема.

Теорема. Пусть f эквивалентна f 1, g эквивалентна g 1 при x®x 0.

Если существует предел, тогда существует и.

Если существует предел, тогда существует и.

Пример..

Пример. =1.

Пример..

3.4 Замечательные пределы

Замечательные пределы, основные эквивалентности.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями | Первый замечательный предел
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 492; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.023 сек.