КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Спрямляемая криваяОпределение. Кривая Гладкие кривые Правила дифференцирования вектор функций Дифференцируемость вектор функции Непрерывность вектор функции r (t) определена на [a,b] и t 0Î(a,b) r (t) непрерывна, если r (t) = r (t 0) Аналогично определяется непрерывность справа, слева. Непрерывность на множестве. Свойства p (t), q (t), l (t) непрерывны в точке t 0 Þ непрерывны p (t) + q (t), l (t) p (t), (p (t), q (t)), [ p (t), q (t)]. Пусть r (t) определена в окрестности точки t 0. Производной в точке t 0 называется нижеследующий предел, если он существует, r ¢ (t) = (r (t) – r (t 0))/(t – t 0). Теорема. Производная вектор функции r (t) в точке t 0 существует тогда и только тогда, когда существуют x¢ (t 0), y¢ (t 0), z¢ (t 0) и r ¢ (t 0) =. Утверждение следует из критерия существования предела вектор функции. Замечание. Если у r (t) существует r ¢ (t 0) в точке t 0, то r (t) непрерывна в этой точке. Определение. Векторная функция r (t) называется дифференцируемой в точке t 0, если в некоторой окрестности этой точки выполняется равенство r (t) - r (t 0) = a (t – t 0) + e (t) (t – t 0), (1) где e (t) = 0. Векторная функция a D t = a (t – t 0) = a dt называется дифференциалом функции r (t) в точке t 0 и обозначается d r = a dt. Условие (1) можно записать в координатной форме (2) где a =(ax, ay, az), e = (e x, e y, e z). Теорема. Дифференцируемость r (t) в точке t 0 эквивалентна дифференцируемости в точке t 0 координат функции r (t). Следствие. Для дифференцируемости r (t) в точке t 0 необходимо и достаточно существование r ¢(t 0). Геометрический смысл производной r (t):
Рис. 4.27 1) (a r) = r + a r ¢. 2) (r 1 + r 2) = (r 1¢ + r 2¢). 3) (r 1 , r 2) = (r 1¢, r 2) + (r 1, r 2¢). Для краткости будем рассматривать плоские вектора. r 1=, r 2=. Тогда (r 1, r 2)= и (r 1 , r 2)= = = = =(r 1¢, r 2) + (r 1, r 2¢). 4) [ r 1 , r 2 ] = [ r 1¢, r 2 ] + [ r 1, r 2¢ ]. g: tÎT называется непрерывной, если непрерывны x (t), y (t), z (t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве). Для заданной параметризацииt Î[a, b] начало кривой – точка A (x (a) ,y (a) ,z (a)), конец кривой – точка B (x (b) ,y (b) ,z (b)). Замкнутая кривая это кривая, у которой конец совпадает с началом. Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x (t), y (t), z (t) непрерывно дифференцируемы. Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие " t: r ¢ (t)¹0. Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков. 5.2 Длина кривой
Длина кривой. Спрямляемость.
Разбиенем отрезка [ a,b ] называется набор точек t 0 , t 1, …. tn таких, что a=t 0< t 1<….< tn=b. Разбиение отрезка будем обозначать D = { a=t 0< t 1<….< tn=b }. Пусть g: r (t) -непрерывно дифференцируемая на [ a,b ] кривая и D={ a=t 0< t 1<….< tn=b } – некоторое разбиение отрезка [ a,b ]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках Ak= (x (tk), y (tk), z (tk)), k= 0,1,…, n. Радиус вектор в точку Ak обозначим r k. Длину ломаной обозначим s (g, D) s (g,D)= | r k+ 1 – r k|
Рис. 5.1 рисунок для плоского случая Определение. Кривая g называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань, где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям D отрезка [a,b]. Эта величина s называется длиной кривой g. Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.
Рис. 5.2 Длина основания очередного прямоугольника равна половине длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1. Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент. Доказательство. Пусть g = g¢+g¢¢. Для любого разбиения D кривой g существуют разбиения D¢, D¢¢ кривых g¢, g¢¢ такие, что s(g, D) £ s(g¢, D¢)+s(g¢¢, D¢¢). На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды разбиения кривой g оставляем без изменения Рис. 5.3 Так как AB £ AC + CB, то отсюда получаем соотношение для длин кривых s £ s ¢ + s ¢¢. С другой стороны любая пара D¢, D¢¢ разбиений кривых g¢, g¢¢ образует разбиение D кривой g, так что s(g, D) = s(g¢, D¢)+s(g¢¢, D¢¢), поэтому справедливо обратное неравенство s ³ s ¢ + s ¢¢. Теорема 2. Если кривая g непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству , где,, ,,,, t Î[a,b]. Доказательство. Пусть D={a= t 0< t 1<…< t n=b}, тогда по теореме Лагранжа | r (tk +1 – r (tk)|= = = и (b - a) = £ s(g, D)= = £ = = (b - a). Для верхней грани получим (b - a) £ s £ (b - a). Откуда и следуют требуемые неравенства. Теорема 3. Если кривая g гладкая, то длина дуги s (t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой функцией и = | r ¢(t) | Доказательство. На участке [ t,t +D t ] по теореме 2 выполнены неравенства (1) Рис. 5.4 Требуемое равенство получится при переходе к пределу при D t ®0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий предел Например, Строгое монотонное возрастание функции s (t) следует из условия выполненного для гладкой кривой. Следствие 1. Для гладкой g можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s = s (t). Действительно, для этой функции существует обратная t = t (s) и, следовательно, (t)= (t (s)) В этом случае | d r / ds |=| r ¢ (t) t ¢(s)| =|s ¢(t) t ¢(s) |= =1. Следствие 2. dt, ds 2= dx 2+ dy 2+ dz 2, ds – элемент длины дуги. Пример. Длина цепной линии y = ch x. Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t, t Î[0, t 0].
Рис. 5.5 s ¢(t)=| r ¢(t)|=| i + sh t j |= = ch t. Таким образом, s ¢(t) = (sh t)¢. Согласно следствия из теоремы Лагранжа s (t)= sh t + C. s (0)=0 Þ s (t) = sh t.
5.3 Плоские кривые Кривизна, радиус кривизны.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1722; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |