Математического маятника с периодом колебаний, равным

Ниями.

Математический и физический маятники

Потенциальная энергия

Энергия гармонического колебания

Ческих колебаний

0 х   х  0

􀀀􀀀

. (1.4)

Решением этого уравнения является выражение (1.1).

С учётом уравнения (1.3), сила действующая на

материальную массой m, равна

Рис. 1.1

F   m 0 x   kx

  , (1.5)

где 2

0 m  k - коэффициент упругости.

Упругая сила является консервативной, поэтому полная

энергия механических колебаний остаётся постоянной:

Е = T+П = const.

Кинетическая энергия материальной точки, соверша-

ющей прямолинейные гармонические колебания, с учётом

уравнения 1.2, равна

2 2 2

0 2

0 sin (),

2 2

T m mA t

 

     (1.6)

или  

2 2

0 1 cos2().

T mA t



     (1.7)

материальной точки, соверша-

ющей гармонические колеба-

ния под действием упругой

силы F, с учётом уравнения

1.5, равна

2 2

2 2

0 2

cos (),

x m x П Fdx

m A t





 

   

 



(1.8)

или

 

2 2

0 1 cos2().

П mA t



     (1.9)

Частота изменения кинети-

ческой и потенциальной

энергий в два раза превышает

частоту гармонических

колеба- ний (см. рис.1.2).

x

+A

t

T

E

E

t

П

E

E

0 t

Рис.1.2

Полная механическая энергия колеблющейся системы с

учетом уравнений (1.7) и (1.9) равна

2 2

E  T  П  mA  0 2.

Идеализированные системы, в которых колебания

возникают за счёт первоначально сообщённой энергии при

последующем отсутствии внешних воздействий и описыва-

ются уравнением (1.4), называются гармоническими осцил-

ляторами. Примерами гармонических осцилляторов являются

пружинный, физический и математический маятники. Колеба-

ния, возникающие в таких системах при отсутствии сил

трения, называются собственными гармоническими колеба-

Математическим маятником называют идеализи-

рованную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой

нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной

точке (рис.1.3).

Рис.1.3 Рис.1.4

l



o

M

dt

d

mg

α

c

•· P2

α

О'

O

lс

lпр

При отклонении от положения равновесия на некоторый

угол  математический маятник начинает совершать свобод-

ные колебания. В случае малых колебаний sin   , диф-

ференциальное уравнение колебаний математического

маятника имеет вид

2 0

2 0

    

dt

d, (1.10)

где 0

g

  l; l – длина математического маятника; g –

ускорение свободного падения.

Общее решение этого дифференциального уравнения

имеет вид

  A cos   0 t   , (1.11)

где A и  – постоянные, определяемые начальными

условиями возбуждения колебаний.

Таким образом, при малых колебаниях математический

маятник колеблется по гармоническому закону. Период

колебаний математического маятника равен

T  2  l g. (1.12)

Видно, что период T зависит только от длины маятника l,

ускорения силы тяжести g и не зависит от его массы.

Физический маятник – любое тело, подвешенное в

точке, лежащей вне его центра тяжести (рис 1.4).

Докажем, что маятник, отклоненный на малый угол

 от положения равновесия, будет совершать гармонические

колебания. Обозначим через I момент инерции маятника

относительно оси О, перпендикулярной плоскости чертежа

(рис.1.4). Пусть точка С является центром тяжести. Силу

тяжести P = mg можно разложить на две составляющие, одна

из которых P 2 уравновешивается реакцией опоры.

Под действием другой составляющей

P1 = Psin = mg sin α (1.13)

маятник приходит в движение. Из основного закона динамики

вращательного движения имеем

I  = - m g lc sin, (1.14)

где

d

d t



 , (1.15)

угловое ускорение, lc = СО – расстояние от точки подвеса до

центра тяжести.

Знак минус выбран потому, что действующая сила

направлена в сторону, противоположную положительному

направлению отклонения маятника, т.е. стремится вернуть его

в положение равновесия. При малых отклонениях можно

считать, что sin   , поэтому

Р1  m g . (1.16)

Подставив (1.15) и (1.16) в (1.14), получим

2 c I d mgl 0

dt



  . (1.17)

Полученное дифференциальное уравнение является

уравнением гармонического колебательного движения.

Частота и период колебаний определяются из формул

c

c

,, T 2 2.

mgl I

I mgl

 

  

 

    (1.18)

Величина

c

L I

ml

 называется приведённой длиной

физического маятника, она численно равна длине

Дата добавления: 2014-01-05