Теорема 1. Любая экстремальная точка дифференцируемой функции – стационарная

Определение 1. Касательной плоскостью к поверхности графика в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к поперечным сечениям графика вертикальными плоскостями, проходящими через эту точку.

Докажем, что уравнение касательной плоскости задаётся уравнением

(5)

Касательная прямая L является пересечением плоскостей в пространстве (см. (4))

Запишем уравнение касательной в параметрическом виде. Для этого положим.

Отсюда

. (6)

Докажем, что для любого параметра точка касательной прямой (6) принадлежит касательной плоскости (5). То есть касательная прямая (6) лежит в касательной плоскости (5)

Подставляем координаты точки в уравнение (1) и получаем истинное равенство

Если уравнение поверхности задано неявно (например, эллипсоид или гиперболоид), то уравнение касательной плоскости имеет вид

(7)

Определение 2. Нормалью к поверхности в точке называется прямая перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания

(8)

Пример 1. Найдём уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

Решение. В данном случае поверхность задана неявным образом поэтому используем формулу (6). Вычисляем частные производные в заданной точке

Подставляя найденные значения в формулу (6) получаем искомое уравнение плоскости

Уравнение нормали записывается с помощью формулы (7) или в параметрическом виде.

Упражнение 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке

Касательная плоскость наиболее близко примыкает к поверхности вблизи точки касания.

Как и в случае функции одной переменной для функции двух переменных имеет место формула линейного приближения

Таким образом, если график функции проходящей через точку, то

уравнение касательной плоскости, проходящей через эту же точку. Здесь дифференциал функции.

Упражнение 2. Вычислить приращение функции в точке относительно приращения аргументов. Вычислить её линейную часть (полный дифференциал) и сравнить приращение функции и полный дифференциал.

Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение 3. Точка называется точкой локального максимума функции, если для всех точек,принадлежащих -окрестности,

справедливо неравенство (рис.1а)

Рис.1а рис1в

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума функции

, если для всех точек,принадлежащих -окрестности,

справедливо неравенство (рис.1в).

Замечание. Если в определениях 3,4 заменить знаки (<),(>) на знаки, то определятся нестрогие максимумы и минимумы соответственно.

Определение 5. Точки локального максимума или локального минимума функции(строгие или нестрогие) называются точками экстремума, а локальные максимумы или минимумы функции –экстремумами функции.

Определение 6. Точки в которых одновременно выполняются условия

(9)

называются стационарными точками.

Теорема 1 говорит нам, что если нам нужно найти локальные экстремумы у дифференцируемой функции, то сначала нужно найти все её стационарные точки и столько среди них искать точки локальных экстремумов.

У дважды дифференцируемых функций существуют простые критерии отбора точек локальных экстремумов среди стационарных точек.

Дата добавления: 2014-01-05