Поле направлений дифференциального уравнения

Рассмотрим график дифференцируемой функции , заданной на отрезке . Разобьём отрезок на nчастей . Середину каждого участка разбиения

обозначим через и вычислим значение функции в каждой точке : . Через каждую точку графика проведём отрезок касательной, определённой на участке . Таких отрезков будет n штук

рис(1.1). Каждый отрезок касательной задаёт некое направление наклон, которого к оси ОХ равен значению производной . Совокупность таких направлений назовём полем направлений данного графика .

Если задан график , то, дифференцируя, легко определить его поле направлений. Если задано поле направлений графика функции, то легко построить сам график.

Смысл решения ДУ (1.1) состоит в том, что наклон касательной к графику решения в каждой точке был равен . Все свойства ДУ могут быть показаны геометрически на рисунке его поля направлений.

Пример1.3 На рис(1.2) приведен чертёж поля направлений ДУ

рис(1.2)

Пример 1.4 На полученном поле направлений ДУ рис(1.2) изобразить графики конкретных решений данного ДУ, проходящих через точки:

1) ; 2) ; 3)

рис(1.3)

На рис(1.3) представлены графики решений предложенных начальных задач (смотреть снизу вверх), построенных с использованием поля направлений:

1) , ; 2) , ; 3) , (1.8)

Часто ДУ с разделяющимися переменными записывают в виде

(1.9)

здесь функции заданные функции.

Заметим, что горизонтальная линияявляется решением ДУ (1.9) если . Вертикальная линия является решением, если . Другие решения получаем следующим образом. ДУ (1.9) делим на выражение , тогда уравнение принимает вид (1.1)

.

Пример 1.5. Найти уравнение кривой, удовлетворяющей ДУ и,

проходящей через точку (0;3).

Решение. Это уравнение не имеет решений вида. Интегрируя ДУ, получаем

или (1.10)

Чтобы найти решение, проходящее через точку (0;3), мы полагаем х=0 и у=3 в (1.10). Это даёт С=10 и таким образом уравнение кривой имеет вид . Решение нашей начальной задачи задано неявным выражением.

Оно задает две явно заданных функции рис(1.3) Обе функции являются решениями . Например или или или . И кроме того функция удовлетворяет начальному условию

Проверкой также убеждаемся, что функция также удовлетворяет ДУ и начальному условиюПоле направлений ДУнаглядно подтверждает наши вычисления рис(1.4).

рис(1.4)

Дата добавления: 2014-01-05