Решение.Так как полевых игроков в команде 10 и всего 1 вратарь, то по правилу умножения .J

Решение.По формуле (7.2) (размещения с повторениями) находим:. J

J Пример 7.2. Сколько неподобных членов содержится в многочлене

Решение. По формуле (7.5) (сочетания с повторениями) находим:

J

J Пример 7.3. Сколькими способами можно составить футбольную команду, если её формируют из трёх вратарей и пятнадцати полевых игроков?

J Пример 7.4. Сколько слов, без учёта их смысла, можно составить из букв слова «длинношеее»?

Решение. По формуле(7.3а) (перестановки с повторениями) находим:

. J

J Пример 7.5. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 5?

Решение. Так как число не начинается с нуля, то из числа надо вычесть число :

. J

J Пример 7.6. Сколько шестизначных телефонных номеров можно установить?

Решение. По формуле (7.2) (размещения с повторениями) находим:

. J

♦ Теорема 7.6. При любом справедливо равенство (бином Ньютона [1])

. (7.8)

Доказательство. Формулу (7.8) докажем методом математической индукции.

1) Проверяем верность формулы при n =1: , так как по формуле (7.4) , . Таким образом, при n =1 формула (7.8) верна.

2) Предположим, что формула (7.8) верна для некоторого n. Докажем, что при n +1 имеет место такая же формула, то есть что

. (7.9)

В самом деле,

.

В силу того, что , , , , , следует формула (7.9). Из 1) и 2) на основании метода математической индукции заключаем, что формула (7.8) верна для любого натурального числа n. ■

Формулу (7.8) обычно коротко записывают так: .

При n =2 и n =3 получаем хорошо знакомые формулы:

;

.

[1] Ньютон Исаак (1642-1727) – великий английский физик, механик, математик и астроном.

Дата добавления: 2014-01-05